ブラウン運動と幾何ブラウン運動

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🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：ランダムウォークと効率的市場仮説　|　数理：ブラウン運動（統計）・正規分布（標準正規・標準化）（統計）

要点（BLUF）

ブラウン運動（ウィーナー過程） $W_t$ は、ランダムウォークの刻みを無限に細かくした連続時間の極限。独立増分・正規増分・連続経路という性質を持ちます。
価格を $dX=\mu\,dt+\sigma\,dW$ （算術ブラウン運動）でモデル化すると負の価格が出てしまいます。株価には $dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW$ （幾何ブラウン運動 GBM）を使います。
GBM の解は $S_t = S_0\exp\!\big((\mu-\tfrac{\sigma^2}{2})t+\sigma W_t\big)$ 。終端価格 $S_T$ は対数正規分布に従い、常に正で、リターンの非対称性も自然に表現されます。

1. ブラウン運動（連続時間の極限）

ランダムウォークと効率的市場仮説のランダムウォークで、時間刻みを $\Delta t\to 0$ にした極限がブラウン運動 $W_t$ です。定義する性質は次の3つ（詳細はブラウン運動（統計））。

$W_0 = 0$
独立増分：重ならない区間の増分は互いに独立
正規増分： $W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0,\ t-s)$ （増分の分散は時間幅に等しい）
経路は連続（だがいたるところ微分不可能）

増分の分散が時間に比例する（標準偏差は $\sqrt{\Delta t}$ ）ことが、リスクの測り方の √t則の連続版です。この $W_t$ が、これ以降すべての連続時間モデルの「ランダムさの源泉」になります。

2. 算術ブラウン運動と幾何ブラウン運動

ブラウン運動で価格を動かす最も素朴な方法は、算術ブラウン運動です。

dX_t = \mu\,dt + \sigma\,dW_t \qquad\Longrightarrow\qquad X_t = X_0 + \mu t + \sigma W_t \sim \mathcal{N}(X_0+\mu t,\ \sigma^2 t)

これは正規分布なので、確率的に負の値を取ります。株価は0未満になれないので、価格モデルとしては不適切です。そこで「変化率がブラウン運動で動く」と考えるのが**幾何ブラウン運動（GBM）**です。

dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t

ここで $\mu$ はドリフト（期待成長率）、 $\sigma$ はボラティリティ。両辺を $S_t$ で割ると $dS_t/S_t = \mu\,dt + \sigma\,dW_t$ ——左辺は瞬間リターンで、「リターンが平均 $\mu$ ・ボラ $\sigma$ で揺れる」という、リターンの測り方の自然な連続版になっています。2つを並べて描きます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

rng = np.random.default_rng(1)
S0, mu, sigma, T, N = 100.0, 0.10, 0.20, 1.0, 252
dt = T/N
t = np.linspace(0, T, N+1)

n_paths = 6
dW = rng.normal(0, np.sqrt(dt), (n_paths, N))                       # 増分
W = np.concatenate([np.zeros((n_paths, 1)), np.cumsum(dW, axis=1)], axis=1)

X = mu*t + sigma*W                                  # 算術ブラウン運動
S = S0*np.exp((mu - 0.5*sigma**2)*t + sigma*W)      # 幾何ブラウン運動

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
ax[0].plot(t, X.T, lw=1); ax[0].axhline(0, color="k", lw=0.8)
ax[0].set_title("算術ブラウン運動（0 を割って負にもなる）"); ax[0].set_xlabel("時間 t")
ax[1].plot(t, S.T, lw=1)
ax[1].set_title("幾何ブラウン運動（常に正）")
ax[1].set_xlabel("時間 t"); ax[1].set_ylabel("価格")
plt.tight_layout(); plt.show()

出力の意味：左の算術ブラウン運動は0の線を平気で割り込み、負の「価格」が現れます。右の GBM はどの経路も常に正で、価格として自然です。違いは「絶対額が揺れる」か「変化率が揺れる」か。GBM は変化率（リターン）が一定のボラで揺れるので、価格が高いときは値動きも大きく、0 には漸近しても到達しません。

3. GBMの解と対数正規分布

GBM の確率微分方程式 $dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW$ の解は

S_t = S_0\exp\!\left(\Big(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\Big)t + \sigma W_t\right)

です（この導出には確率過程の連鎖律が要る——次の伊藤の補題でやります）。注目すべきは指数の肩の $-\sigma^2/2$ という補正項。これがあるおかげで、対数価格 $\ln S_t$ は正規分布

\ln S_t \sim \mathcal{N}\!\left(\ln S_0 + \Big(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\Big)t,\ \ \sigma^2 t\right)

に従い、 $S_t$ 自身は対数正規分布になります。1年後の価格を大量に生成して分布を見ます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(1)
S0, mu, sigma, T = 100.0, 0.10, 0.20, 1.0
M = 200000

W_T = rng.normal(0, np.sqrt(T), M)                  # 終端のブラウン運動
S_T = S0*np.exp((mu - 0.5*sigma**2)*T + sigma*W_T)  # 1年後の価格

print(f"E[S_T]  (シミュ) = {S_T.mean():.4f}")
print(f"S0*e^(μT)        = {S0*np.exp(mu*T):.4f}")
print(f"中央値  (シミュ) = {np.median(S_T):.4f}")
print(f"S0*e^((μ-σ^2/2)T) = {S0*np.exp((mu-0.5*sigma**2)*T):.4f}")
print(f"P(S_T < S0)      = {np.mean(S_T < S0):.4f}")

plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.hist(S_T, bins=120, density=True, alpha=0.4, label="シミュレーション")
x = np.linspace(S_T.min(), np.percentile(S_T, 99.5), 400)
pdf = stats.lognorm.pdf(x, s=sigma*np.sqrt(T), scale=S0*np.exp((mu-0.5*sigma**2)*T))
plt.plot(x, pdf, "r-", lw=2, label="対数正規 pdf（理論）")
plt.axvline(S_T.mean(), color="green", ls="--", label="平均")
plt.axvline(np.median(S_T), color="purple", ls=":", label="中央値")
plt.xlabel("1年後の価格 S_T"); plt.ylabel("密度")
plt.title("GBM の終端価格は対数正規分布")
plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()

出力：

E[S_T]  (シミュ) = 110.4566
S0*e^(μT)        = 110.5171
中央値  (シミュ) = 108.2834
S0*e^((μ-σ^2/2)T) = 108.3287
P(S_T < S0)      = 0.3452

出力の意味：分布は右に裾を引いた対数正規で、理論 pdf（赤線）とよく重なります。重要なのは平均（110.46）と中央値（108.28）がズレていること。対数正規は非対称なので、 $E[S_T]=S_0e^{\mu T}=110.52$ に対し中央値は $S_0e^{(\mu-\sigma^2/2)T}=108.33$ と低くなります。さらに $P(S_T<S_0)=0.345$ ——ドリフトが正（年10%）でも、1年後に値下がりしている確率は約35%。「平均は上がるが、過半数は中央値以下」という株価の直感に反する性質が、この補正項 $-\sigma^2/2$ から自然に出てきます。これはリターンの測り方のボラティリティ・ドラッグの正体でもあります。

⚠️ よくある誤解

「ドリフト $\mu$ が価格の期待成長率の指数」ではない（中央値の話では）： $E[S_t]=S_0e^{\mu t}$ は正しいですが、典型的な経路（中央値）は $S_0e^{(\mu-\sigma^2/2)t}$ で増えます。平均は一部の大当たり経路に引っ張られています。
ブラウン運動の経路は微分できない： $dW$ は「微分」ではなく増分の記号です。 $(dW)^2=dt$ という通常の微積分にない規則が必要で、これが次の伊藤の補題の出発点です。
GBM はボラ一定を仮定する：現実のボラは時間変動し（ボラティリティ・クラスタリング）、暴落もジャンプします。GBM は出発点のモデルで、確率ボラ（Heston）やジャンプ拡散は第9章で扱います（要最新確認）。

要点（BLUF）

1. ブラウン運動（連続時間の極限）

2. 算術ブラウン運動と幾何ブラウン運動

3. GBMの解と対数正規分布

⚠️ よくある誤解

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