ランダムウォークと効率的市場仮説

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：リターンの測り方　|　数理：確率過程（マルコフ連鎖・ポアソン過程）（統計）・時系列解析（定常性・ACF/PACF・AR・MA・ARMA・ARIMA）（統計）

要点（BLUF）

ランダムウォークは、対数価格が「前の値＋独立なショック」で動くモデル。次のリターンは過去のリターンから予測できません。
**効率的市場仮説（EMH）**は、価格が利用可能な情報を即座に織り込むため、系統的に超過リターンを得続けることはできないとする考え。弱・準強・強の3形態があります。
ランダムウォークの数値的な指紋は2つ：リターンの自己相関がほぼ 0、そして分散が時間に比例する（分散比 ≈ 1）。

1. ランダムウォークモデル

もっとも単純な価格モデルは、価格が毎期ランダムなショックを足されて動くというものです。対数価格 $p_t=\ln P_t$ を使うと

p_t = p_{t-1} + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t \overset{\text{iid}}{\sim} (\mu,\ \sigma^2)

このとき、対数リターン $r_t = p_t - p_{t-1} = \varepsilon_t$ は独立同分布になります。価格そのものは $P_t = P_0\exp(\sum_{s\le t}\varepsilon_s)$ で、ショックの累積です（対数で考えるので価格は常に正に保たれます——これが幾何ブラウン運動による資産価格モデルにつながる「幾何」ランダムウォーク）。シミュレートして眺めます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

rng = np.random.default_rng(0)
T = 2000
log_ret = rng.normal(0.0003, 0.01, T)     # iid なリターン（ショック）
log_price = np.cumsum(log_ret)            # 対数価格＝ショックの累積
price = 100*np.exp(log_price)

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(11, 4))
ax[0].plot(price); ax[0].set_title("価格（幾何ランダムウォーク）")
ax[0].set_xlabel("時点"); ax[0].set_ylabel("価格")
ax[1].plot(log_ret, lw=0.5); ax[1].set_title("リターン（iid なショック）")
ax[1].set_xlabel("時点"); ax[1].set_ylabel("対数リターン")
plt.tight_layout(); plt.show()

出力の意味：左の価格はトレンドや「クセ」があるように見えますが、それは独立なショックを積み上げただけの錯覚です。右のリターンは中心0付近で無秩序に振動し、規則性がありません。「価格にはパターンがあるように見えるが、リターンはただのノイズ」——これがランダムウォークの本質で、人間がチャートに見出すパターンの多くが後知恵だと示唆します。

2. 効率的市場仮説（EMH）

なぜ価格はランダムウォークになるのか。効率的市場仮説はこう説明します——もし「明日上がる」と分かる情報があれば、投資家は今日買い、価格は即座に上がってしまう。結果、予測可能な部分は瞬時に価格へ織り込まれ、残るのは予測不能なニュース（ショック）だけになります。情報集合の範囲で3形態に分かれます。

弱効率：過去の価格・出来高はすべて織り込み済み。テクニカル分析で勝ち続けられない。
準強効率：公開情報（決算・ニュース）もすべて織り込み済み。公表情報を使ったファンダメンタル分析でも超過収益は続かない。
強効率：内部情報すら織り込み済み（現実には成り立たないとされる）。

数学的には、（リスク中立化した）価格がマルチンゲール—— $E[P_{t+1}\mid \mathcal{F}_t]=P_t$ 、つまり「今持っている情報での最善の予測は現在値」——になることに対応します。これは第4章のリスク中立評価の伏線です。

3. リターンの予測不能性：自己相関

ランダムウォークなら、リターンに時間方向の相関がないはずです。今日のリターンと明日のリターンの相関（ラグ1自己相関）を測ります。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)
T = 2000
log_ret = rng.normal(0.0003, 0.01, T)

# ラグ1の自己相関：今日のリターンと「翌日」のリターンの相関
ac1 = np.corrcoef(log_ret[:-1], log_ret[1:])[0, 1]
print(f"リターンのラグ1自己相関: {ac1:.4f}")

出力：

リターンのラグ1自己相関: -0.0083

出力の意味：自己相関は $-0.0083$ で、ほぼ 0。「昨日上がったから今日も上がる」といった連動はありません。これがリターンの予測不能性の数値的な証拠です（実際の株式リターンも、日次の自己相関はほぼ 0 と知られています——ただしボラティリティには相関があり、これは時系列解析（定常性・ACF/PACF・AR・MA・ARMA・ARIMA）（統計）の GARCH などで扱います）。

4. 分散の時間比例：分散比

ランダムウォークのもう1つの指紋は、分散が時間に比例することです。リターンが独立なら、 $k$ 期間ぶんを足したリターンの分散は1期間分散の $k$ 倍。これを使った分散比

\text{VR}(k) = \frac{\mathrm{Var}\!\left(r_t^{(k)}\right)}{k\,\mathrm{Var}(r_t)}

は、ランダムウォークなら 1 に近づきます（リスクの測り方の √t則の裏返し）。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)
T = 2000
log_ret = rng.normal(0.0003, 0.01, T)

# k期間リターンの分散 ÷ (k×1期間分散)。ランダムウォークなら VR≈1
for k in [1, 5, 20]:
    n_blocks = T // k
    kret = log_ret[:n_blocks*k].reshape(n_blocks, k).sum(axis=1)
    vr = kret.var() / (k * log_ret.var())
    print(f"k={k:>2}: 分散比 VR = {vr:.4f}")

出力：

k= 1: 分散比 VR = 1.0000
k= 5: 分散比 VR = 0.9693
k=20: 分散比 VR = 1.0065

出力の意味：どの集計期間でも分散比は 1 の近く（0.97〜1.01）。分散が時間にきれいに比例しています。実データで $\text{VR}>1$ なら正の自己相関（トレンド追随）、 $\text{VR}<1$ なら平均回帰（リバーサル）の兆候——分散比検定は、市場がランダムウォークから外れていないかを調べる標準的な道具です（ロー＝マッキンレー）。

⚠️ よくある誤解

「ランダムウォーク＝リターンの平均が0」ではない：ドリフト $\mu$ （上のコードでは 0.0003/日）があってよく、長期では右肩上がりです。予測不能なのは「平均からのズレ」の部分です。
「効率的市場＝価格が正しい」ではない：EMH が言うのは「公開情報で系統的に勝ち続けられない」こと。価格が常にファンダメンタルズと一致する保証ではなく、バブルや暴落と矛盾しません（要最新確認：行動ファイナンスからの批判もあります）。
リターンが無相関でも独立とは限らない：自己相関 0 は「線形の」予測不能性。リターンの2乗（ボラティリティ）には強い相関（クラスタリング）があり、リスク管理ではここが本質になります（第8章）。