リターンの測り方

🎓 レベル：基礎　|　重要度：A（必須）

📎 前提：金利と複利　|　数理：正規分布（標準正規・標準化）（統計）・中心極限定理（CLT）（統計）

要点（BLUF）

リターンには2つの測り方があります。単純リターン $R = P_t/P_{t-1} - 1$ と、対数リターン $r = \ln(P_t/P_{t-1}) = \ln(1+R)$ 。変化が小さいときは $r \approx R$ でほぼ同じです。
対数リターンは時間方向に足せる（加法的）、単純リターンは資産方向に足せる（ポートフォリオで加重平均）。この使い分けが肝です。
平均リターンには算術平均と幾何平均があり、実際の資産の成長率は幾何平均のほう。ボラティリティが大きいほど両者の差（ボラティリティ・ドラッグ）が開きます。

1. 単純リターンと対数リターン

時点 $t-1$ の価格 $P_{t-1}$ が $t$ で $P_t$ になったとき、リターンの測り方は2通りあります。

**単純リターン（simple / net return）**は「何%増えたか」そのものです。

R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} = \frac{P_t}{P_{t-1}} - 1

**対数リターン（log return）**は価格比の自然対数をとります。

r_t = \ln\frac{P_t}{P_{t-1}} = \ln(1 + R_t)

両者は $r = \ln(1+R)$ で結ばれ、 $R$ が小さいとき $\ln(1+R) \approx R - \tfrac{R^2}{2} + \cdots \approx R$ なので、日次のような小さな変化ではほぼ一致します。実際に計算して見比べます。

import numpy as np

# 5日分の終値（合成データ）
prices = np.array([100.0, 102.0, 101.0, 105.0, 103.0])

simple_ret = prices[1:] / prices[:-1] - 1      # 単純リターン
log_ret = np.log(prices[1:] / prices[:-1])     # 対数リターン

print("単純リターン:", np.round(simple_ret, 4))
print("対数リターン:", np.round(log_ret, 4))

出力：

単純リターン: [ 0.02   -0.0098  0.0396 -0.019 ]
対数リターン: [ 0.0198 -0.0099  0.0388 -0.0192]

出力の意味：両者はどの日もほぼ同じ値です（+2.00% vs +1.98% など）。違いはわずかで、対数リターンは正のとき少し小さく、負のとき少し大きく（絶対値が）出ます。これは $\ln(1+R)$ が $R$ の下に少し凸だからです。「日次なら単純でも対数でもほぼ同じ」——ではなぜ2つ使うのか。次の加法性に答えがあります。

2. 加法性：時間方向と資産方向

2つのリターンは、足せる方向が違います。これが使い分けの核心です。

時間方向（対数リターンが足せる）：複数期間をまたぐと、グロスリターン（ $1+R$ ）は掛け算で累積します。

\frac{P_T}{P_0} = \prod_{t=1}^{T}(1+R_t)

ところが対数をとれば積は和になり、対数リターンはただ足すだけで全期間のリターンになります。

\ln\frac{P_T}{P_0} = \sum_{t=1}^{T}\ln(1+R_t) = \sum_{t=1}^{T} r_t

import numpy as np

prices = np.array([100.0, 102.0, 101.0, 105.0, 103.0])

# 期間全体のグロスリターン（最初と最後だけで決まる）
total_gross = prices[-1] / prices[0]
print(f"全期間グロス: {total_gross:.4f}  (= {total_gross-1:.2%})")

# 対数リターンは「足す」だけで全期間に一致する
log_ret = np.log(prices[1:] / prices[:-1])
print(f"対数リターンの和: {log_ret.sum():.4f}")
print(f"exp(和):         {np.exp(log_ret.sum()):.4f}")

# 単純リターンは「掛ける」（1+R を累積）
simple_ret = prices[1:] / prices[:-1] - 1
print(f"(1+R)の積:       {np.prod(1 + simple_ret):.4f}")

出力：

全期間グロス: 1.0300  (= 3.00%)
対数リターンの和: 0.0296
exp(和):         1.0300
(1+R)の積:       1.0300

出力の意味：対数リターンを単純に足した 0.0296 を $\exp$ すると、全期間グロス 1.0300 にぴたり一致します。単純リターンのほうは「掛け算（ $\prod(1+R)$ ）」で同じ 1.0300 に到達します。時系列の集計・年率換算・確率モデルでは対数リターンが圧倒的に楽——足し算で済み、金利と複利の連続複利と同じ構造（指数の肩の足し算）だからです。正規分布の和がまた正規分布になる性質（中心極限定理（CLT）（統計））とも相性が良く、第3章の幾何ブラウン運動につながります。

資産方向（単純リターンが足せる）：いっぽう、ある時点で複数資産を保有するポートフォリオのリターンは、単純リターンの加重平均で書けます。

R_p = \sum_{i} w_i R_i \qquad(w_i:\text{資産 } i \text{ の構成比})

対数リターンにはこの性質がありません（ $\ln$ は和に対して線形でない）。ポートフォリオを「横に足す」ときは単純リターンを使います——これが第2章のポートフォリオ理論で効いてきます。まとめると、時間で足すなら対数、資産で足すなら単純。

3. 算術平均と幾何平均（ボラティリティ・ドラッグ）

「平均リターン」にも2種類あります。

算術平均：単純リターンをそのまま平均。 $\bar R = \frac{1}{n}\sum R_t$
幾何平均：実際に資産が成長した率。 $g = \left(\prod (1+R_t)\right)^{1/n} - 1$

資産が実際に何倍になったかを決めるのは幾何平均のほうです。そして両者には常に $g \le \bar R$ という関係があり、リターンのばらつき（ボラティリティ）が大きいほど差が開きます。対数リターンが平均 $\mu$ ・標準偏差 $\sigma$ の正規分布に近いとき、近似的に

g \approx \bar R - \frac{\sigma^2}{2}

この目減り分 $\sigma^2/2$ をボラティリティ・ドラッグと呼びます。月次リターンを合成して確かめます。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(42)

# 月次対数リターン（平均0.8%/月, 標準偏差5%/月）を120ヶ月分
mu, sigma = 0.008, 0.05
log_rets = rng.normal(mu, sigma, size=120)
simple_rets = np.exp(log_rets) - 1                 # 単純リターンに変換

arith_mean = simple_rets.mean()                                  # 算術平均
geo_mean = np.prod(1 + simple_rets)**(1/len(simple_rets)) - 1    # 幾何平均
geo_from_log = np.exp(log_rets.mean()) - 1                       # 対数平均から

print(f"算術平均リターン: {arith_mean:.4%}/月")
print(f"幾何平均リターン: {geo_mean:.4%}/月")
print(f"対数平均から:     {geo_from_log:.4%}/月")
print(f"近似 算術-σ^2/2 : {arith_mean - sigma**2/2:.4%}/月")

出力：

算術平均リターン: 0.5759%/月
幾何平均リターン: 0.4992%/月
対数平均から:     0.4992%/月
近似 算術-σ^2/2 : 0.4509%/月

出力の意味：算術平均（0.5759%）より幾何平均（0.4992%）のほうが小さく、その差がボラティリティ・ドラッグです。幾何平均は「対数リターンの平均を $\exp$ したもの」（0.4992%）と完全に一致します——対数リターンの算術平均こそが、複利での実際の成長率だからです。近似式 $\bar R - \sigma^2/2$ （0.4509%）も幾何平均の近くを指しています。「平均+10%、平均−10%を繰り返すと元本割れする」（ $1.1\times0.9=0.99$ ）のはこのドラッグのため。リターンを語るときは、どちらの平均かを意識する必要があります。

⚠️ よくある誤解

「単純リターンの算術平均＝実際の利回り」ではない：実際に資産が増えた率は幾何平均です。算術平均はボラティリティのぶん高く出ます。運用成績を「平均リターン○%」と語るときは、算術か幾何かで意味が変わります。
対数リターンを資産方向に足さない：ポートフォリオのリターンは単純リターンの加重平均（ $\sum w_i R_i$ ）。対数リターンには加重平均の性質がないので、横（資産）に足すときは単純リターンに戻します。時間方向（縦）は対数、資産方向（横）は単純、と覚えます。
「対数リターンはマイナスになると変」ではない：価格が下がれば対数リターンは負になり、 $\ln$ なので下落をやや強めに表現します（−50%は対数で約−69%）。これはバグではなく、価格が0に近づく挙動を正しく捉えている証拠。価格そのものは $P_t = P_0\exp(\sum r)$ で常に正に保たれます。

要点（BLUF）

1. 単純リターンと対数リターン

2. 加法性：時間方向と資産方向

3. 算術平均と幾何平均（ボラティリティ・ドラッグ）

⚠️ よくある誤解

関連ノート