金利と複利｜金融工学

🎓 レベル：基礎　|　重要度：A（必須）

📎 前提：時間価値と現在価値・割引　|　関連：リターンの測り方（対数リターン）・ブラウン運動（統計・連続時間モデルの土台）

要点（BLUF）

単利は元本だけに利息がつき、複利は利息にも利息がつく（利息の再投資）。期間が長くなるほど両者の差は指数的に開きます。
同じ「名目年率」でも、年に何回利息を計算するか（複利頻度）で実際の増え方が変わります。これを1年あたりの実質利回りに直したのが実効年率（EAR） $=(1+r/m)^m-1$ 。
複利頻度を無限大にした極限が連続複利 $FV = PV\,e^{rt}$ 。金融工学はこれを標準形に使います。対数をとると線形になり、確率過程・ブラック–ショールズの計算がきれいに進むからです。

1. 単利と複利

利息のつき方には2通りあります。

単利（simple interest）：利息は最初の元本にだけつく。 $n$ 年後の元利合計は

FV_{\text{単利}} = PV\,(1 + r n)

複利（compound interest）：ついた利息も元本に組み入れ、その合計にまた利息がつく（利息の再投資）。

FV_{\text{複利}} = PV\,(1 + r)^n

単利は $n$ について1次関数（直線）、複利は指数関数です。最初は差がわずかでも、時間が経つほど複利が圧倒的に伸びます。年5%で40年間、両者を並べてみます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

PV = 100
r = 0.05
years = np.arange(0, 41)

simple = PV * (1 + r * years)      # 単利：直線
compound = PV * (1 + r)**years     # 複利：指数

plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.plot(years, simple, label="単利 100(1+rn)")
plt.plot(years, compound, label="複利 100(1+r)^n")
plt.xlabel("年数 n"); plt.ylabel("元利合計")
plt.title(f"単利 vs 複利（r = {r:.0%}）")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3); plt.tight_layout(); plt.show()

print(f"40年後 単利: {simple[-1]:.2f}")
print(f"40年後 複利: {compound[-1]:.2f}")

出力：

40年後 単利: 300.00
40年後 複利: 704.00

出力の意味：単利は40年でちょうど3倍（100→300）、利息は毎年5ずつ一定です。複利は同じ5%でも **7倍超（100→704）**まで伸びます。差を生むのは「利息にも利息がつく」一点だけ。これが「複利は人類最大の発明」と言われるゆえん——そして金融工学が原則すべて複利で考える理由です。

2. 名目年率と実効年率（EAR）

「年5%」と言っても、利息を年1回つけるのか、毎月つけるのかで実際の増え方は変わります。提示される金利（名目年率 $r$ ）を、複利頻度 $m$ で年 $m$ 回つけるなら、1年後は

FV = PV\left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m}

これを「実質的に年何%だったか」に直したのが**実効年率（EAR: Effective Annual Rate）**です。

\text{EAR} = \left(1 + \frac{r}{m}\right)^{m} - 1

名目年率12%を、複利頻度を変えて実効年率に直してみます。

import numpy as np

r_nominal = 0.12   # 名目年率 12%

for m, name in [(1, "年1回"), (2, "半年"), (4, "四半期"), (12, "毎月"), (365, "毎日")]:
    ear = (1 + r_nominal/m)**m - 1
    print(f"{name:>4}複利: 実効年率 EAR = {ear:.4%}")

ear_continuous = np.exp(r_nominal) - 1   # 連続複利の極限
print(f"連続複利: 実効年率 EAR = {ear_continuous:.4%}")

出力：

 年1回複利: 実効年率 EAR = 12.0000%
  半年複利: 実効年率 EAR = 12.3600%
 四半期複利: 実効年率 EAR = 12.5509%
  毎月複利: 実効年率 EAR = 12.6825%
  毎日複利: 実効年率 EAR = 12.7475%
連続複利: 実効年率 EAR = 12.7497%

出力の意味：同じ名目年率12%でも、複利頻度が上がるほど実効年率は増えます（12.00%→12.75%）。ただし増え方はすぐ頭打ちで、毎日複利（12.7475%）と連続複利の極限（12.7497%）はほぼ同じ。金利を比較するときは名目年率ではなく EAR で揃えるのが鉄則です。クレジットカードや住宅ローンの「実質年率」もこの考え方です。

3. 連続複利と力（force of interest）

複利頻度 $m$ を無限大にすると、 $e$ の定義そのものから連続複利が現れます。

\lim_{m\to\infty}\left(1+\frac{r}{m}\right)^{m} = e^{r} \qquad\Longrightarrow\qquad FV = PV\,e^{rt}

ここでの $r$ を連続複利金利、あるいは力（force of interest） $\delta$ と呼びます。実効年率 $r_{\text{eff}}$ との関係は、1年後の倍率を等しいと置けば

1 + r_{\text{eff}} = e^{\delta} \qquad\Longrightarrow\qquad \delta = \ln(1 + r_{\text{eff}})

連続複利の何がうれしいかというと、対数をとると線形になることです。 $\ln(FV/PV) = \delta t$ なので、収益は時間に比例して足し算で扱えます。複数期間をまたぐ計算（リターンの測り方の対数リターン）や、ランダムな価格変動（ブラウン運動（統計）に基づく幾何ブラウン運動、第3章）が、指数の肩の足し算だけで進むようになります。これが金融工学が連続複利を標準にする決定的な理由です。

補足：連続複利金利は加法的（足せる）、実効年率は乗法的（掛ける）。 $\delta = \ln(1+r_{\text{eff}})$ と $r_{\text{eff}} = e^{\delta}-1$ で常に行き来できます。割引も同様に $PV = FV\,e^{-\delta t}$ と書け、時間価値と現在価値・割引の連続割引と表裏一体です。

4. 倍化年数と72の法則

「この金利でお金が2倍になるのは何年後か」は直感的に役立つ指標です。複利で $(1+r)^n = 2$ を解けば、正確な倍化年数は

n = \frac{\ln 2}{\ln(1+r)}

ここで $\ln 2 \approx 0.693$ で、 $r$ が小さいとき $\ln(1+r)\approx r$ なので $n \approx 0.693/r = 69.3/(100r)$ 。実務では割り切れる数として72を使う「72の法則」が有名です（ $n \approx 72/(100r)$ ）。正確な値とどれくらい合うか確かめます。

import numpy as np

print(f"{'金利r':>6} {'72の法則':>10} {'正確な倍化年数':>14}")
for r in [0.02, 0.04, 0.06, 0.08, 0.10]:
    approx = 72 / (r * 100)              # 72の法則
    exact = np.log(2) / np.log(1 + r)    # (1+r)^n = 2 の厳密解
    print(f"{r:>6.0%} {approx:>10.1f} {exact:>14.2f}")

出力：

   金利r      72の法則        正確な倍化年数
    2%       36.0          35.00
    4%       18.0          17.67
    6%       12.0          11.90
    8%        9.0           9.01
   10%        7.2           7.27

出力の意味：72の法則は、金利6〜8%あたりで正確な倍化年数とほぼ一致します（72の法則12.0年 vs 厳密11.90年）。理屈どおりなら「69.3の法則」のはずですが、72は2でも3でも4でも6でも割り切れて暗算しやすいため、近似精度を少し犠牲にしてこちらが使われます。「年7%なら約10年で2倍」——複利の効きを肌感覚でつかむのに便利です。

⚠️ よくある誤解

「単利と複利は誤差程度の違い」ではない：短期では差はわずかですが、期間が延びるほど指数的に開きます（40年で3倍 vs 7倍）。長期の積立・年金・債券では、複利で考えないと評価を大きく誤ります。
名目年率だけで金利を比べない：複利頻度が違えば実質利回りは変わります。比較は必ず EAR（実効年率）で。「月利1%」は名目年率12%でも、EAR は約12.68%です。
連続複利金利と実効年率を混同しない：連続複利金利 $\delta$ は足し算で使える指数の肩、実効年率 $r_{\text{eff}}$ は「1年で何倍か」。 $\delta < r_{\text{eff}}$ （例： $\delta=12\%$ なら $r_{\text{eff}}=e^{0.12}-1\approx12.75\%$ ）。金融工学の数式に出てくる「金利」はたいてい連続複利金利のほうです。