プットコールパリティ

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：オプションの基礎　|　関連：ブラックショールズ公式と解釈

要点（BLUF）

プットコールパリティ：同じ行使価格 $K$ ・満期 $T$ のヨーロピアン・コールとプットの価格は $C - P = S_0 - K e^{-rT}$ という関係で固く結ばれます。
導出に確率モデルは要りません。満期で必ず同じペイオフになる2つのポートフォリオは、今日も同じ価値——無裁定だけで導けます。
だからパリティはモデル非依存。ブラック–ショールズで価格を計算しても、当然この関係を満たします。崩れていれば裁定機会です。

1. パリティの主張

コールとプットは別物に見えますが、価格は独立ではありません。同じ $K, T$ について

C - P = S_0 - K e^{-rT}

が成り立ちます（配当なし・ヨーロピアン型）。右辺の $S_0 - Ke^{-rT}$ は「現物を持ち、 $K$ を満期に払う約束をした」状態の価値——つまり先渡しの価値です。コールの買いとプットの売りを組み合わせると、原資産の先渡しと同じになる、というのがこの式の意味です。

2. 無裁定による導出

満期ペイオフが必ず一致する2つのポートフォリオを作ります。

ポートフォリオ①：コール1単位＋現金 $Ke^{-rT}$ （リスクフリーで運用し満期に $K$ になる）
ポートフォリオ②：プット1単位＋原資産1単位

満期 $T$ でのそれぞれの価値を場合分けすると：

満期の状態	① コール＋現金	② プット＋現物
$S_T > K$	$(S_T-K) + K = S_T$	$0 + S_T = S_T$
$S_T \le K$	$0 + K = K$	$(K-S_T) + S_T = K$

どちらも満期価値は $\max(S_T, K)$ で完全に一致します。満期で必ず同じ価値になるものは、無裁定なら今日も同じ価値でなければなりません。

C + K e^{-rT} = P + S_0 \qquad\Longrightarrow\qquad C - P = S_0 - K e^{-rT}

確率も期待リターンも一切登場しないことに注目してください。純粋に「満期で同じなら今も同じ」という論理だけです。

3. 数値検証

ブラック–ショールズ（第5章）でコールとプットを別々に計算し、パリティを満たすか確かめます。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

S0, K, r, sigma, T = 100.0, 100.0, 0.05, 0.2, 1.0

d1 = (np.log(S0/K) + (r + 0.5*sigma**2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))
d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)
C = S0*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)      # コール価格
P = K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S0*norm.cdf(-d1)    # プット価格

print(f"Call = {C:.4f}, Put = {P:.4f}")
print(f"C - P          = {C - P:.4f}")
print(f"S0 - K e^(-rT) = {S0 - K*np.exp(-r*T):.4f}")

出力：

Call = 10.4506, Put = 5.5735
C - P          = 4.8771
S0 - K e^(-rT) = 4.8771

出力の意味：コール 10.4506・プット 5.5735 を独立に計算したのに、その差 $C-P=4.8771$ は $S_0-Ke^{-rT}=4.8771$ と完全に一致します。ブラック–ショールズの公式はパリティを内蔵しているのです（実際、両式の差を取ると $N(d_1)+N(-d_1)=1$ などからこの関係が出ます）。逆にいえば、市場でコールとプットの価格差がこの値からズレていれば、割高な方を売り・割安な方を買い・現物と債券で調整して、確実な利益を取れます。

4. 使いどころ

パリティは実務の便利な道具です。

合成ポジション：コールの買い＋プットの売りで先渡しを合成、現物＋プットの買いで「プロテクティブ・プット（下落保険つき保有）」を作る、など自在に組み替えられます。
片方から片方を価格づけ：コール価格が分かればプット価格は計算不要で出ます。
インプライド・フォワード／配当の逆算：市場のコール・プット価格から $S_0-Ke^{-rT}$ を読み、含み金利や配当を推定できます（インプライドボラティリティと同じ精神）。

⚠️ よくある誤解

パリティはヨーロピアン型・配当なしの関係：アメリカン型（早期行使可）では等式ではなく不等式になります。配当 $q$ があれば $C - P = S_0 e^{-qT} - K e^{-rT}$ と修正します。
「パリティが価格そのものを決める」わけではない：パリティはコールとプットの差を縛るだけ。個々の価格水準には別途モデル（ブラック–ショールズなど）が要ります。差はモデル非依存、水準はモデル依存です。
裁定には取引コスト・空売り制約がからむ：理論上の裁定でも、ビッドアスク・借株コストを引くと消えることがあります。だから現実の価格はパリティの周りの狭い帯に収まります。