オプションの基礎

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🎓 レベル：基礎　|　重要度：A（必須）

📎 前提：先物・先渡しと無裁定価格　|　関連：プットコールパリティ・ブラックショールズ公式と解釈

要点（BLUF）

コールは原資産を行使価格 $K$ で「買う権利」、プットは「売る権利」。義務ではないので、不利なら行使しません。
満期ペイオフはコール $\max(S_T-K,0)$ 、プット $\max(K-S_T,0)$ 。この「折れ曲がり（非線形）」がオプションの本質です。
買い手の損失はプレミアムに限定、利益は（コールなら）青天井。売り手はその裏返しで、利益限定・損失特大。この非対称性が価格づけを難しくします。

1. コールとプット

オプションは「ある条件で取引する権利（義務ではない）」を売買する契約です。

コール・オプション：満期 $T$ に、原資産を行使価格 $K$ で買う権利。 $S_T>K$ なら行使して市場より安く買い、 $S_T\le K$ なら権利を捨てる。
プット・オプション：満期 $T$ に、原資産を行使価格 $K$ で売る権利。 $S_T<K$ なら行使して市場より高く売り、 $S_T\ge K$ なら捨てる。

権利を得る対価として、買い手は最初に**プレミアム（オプション価格）**を払います。本章と第5章の目標は、この適正なプレミアムを無裁定で決めることです。

2. 満期ペイオフ

権利は不利なら行使しないので、満期の価値（ペイオフ）は必ず0以上で、 $\max(\cdot,0)$ の形になります。

\text{コール} = \max(S_T - K,\ 0), \qquad \text{プット} = \max(K - S_T,\ 0)

まず数表で、次に損益図で確認します。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

K = 100
S = np.linspace(60, 140, 9)
call_payoff = np.maximum(S - K, 0)
put_payoff = np.maximum(K - S, 0)
print("S          :", S)
print("Call payoff:", call_payoff)
print("Put payoff :", put_payoff)

# 損益図（プレミアム控除後）。premium は説明用の例
Sgrid = np.linspace(60, 140, 200)
premium_c, premium_p = 7.0, 6.0
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(Sgrid, np.maximum(Sgrid-K, 0) - premium_c, label="ロングコール（買い・プレミアム控除後）")
plt.plot(Sgrid, np.maximum(K-Sgrid, 0) - premium_p, label="ロングプット（買い・プレミアム控除後）")
plt.plot(Sgrid, -(np.maximum(Sgrid-K, 0) - premium_c), "--", label="ショートコール（売り）")
plt.axhline(0, color="k", lw=0.7)
plt.axvline(K, color="gray", ls=":", label="行使価格 K")
plt.xlabel("満期の原資産価格 S_T"); plt.ylabel("損益")
plt.title("オプションの損益図")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3); plt.tight_layout(); plt.show()

出力：

S          : [ 60.  70.  80.  90. 100. 110. 120. 130. 140.]
Call payoff: [ 0.  0.  0.  0.  0. 10. 20. 30. 40.]
Put payoff : [40. 30. 20. 10.  0.  0.  0.  0.  0.]

出力の意味：コールは $K=100$ を超えてから右肩上がりに価値が出て、それ以下では0。プットはその鏡像で、 $K$ を下回るほど価値が出ます。損益図ではプレミアムを引くので、ロングコールは原資産が「 $K$ ＋プレミアム」を超えて初めて黒字、それ以下では最大でもプレミアム分の損で済みます。買い手は損失限定・利益（コールは）無限——この折れ線の「キンク（折れ曲がり）」こそ、線形な先渡し（先物・先渡しと無裁定価格）と決定的に違う点で、価格づけに確率分布が必要になる理由です。

3. 買い手と売り手・本質価値・モネネス

損益の非対称性：ショートコール（破線）はロングコールを上下反転した形。売り手はプレミアムを受け取れますが、原資産が急騰すると損失は無限に膨らみます。「オプションを売る」は宝くじの胴元に似て、ふだん小さく稼ぎ、稀に大きく払う戦略です。

本質価値と時間価値：満期前のオプション価格は2つに分かれます。

\text{プレミアム} = \underbrace{\max(S-K,0)}_{\text{本質価値}} + \underbrace{(\text{時間価値})}_{\ge 0}

本質価値は「いま行使したらいくらか」、時間価値は「満期までにもっと有利になるかも」という期待ぶんです。満期に近づくと時間価値は0に減衰します（第5章のセータ）。

モネネス：いまの状態を表す言葉。コールなら $S>K$ がイン・ザ・マネー（ITM）、 $S=K$ がアット・ザ・マネー（ATM）、 $S<K$ がアウト・オブ・ザ・マネー（OTM）。プットは不等号が逆です。

⚠️ よくある誤解

「OTM のオプションは無価値」ではない：本質価値は0でも、満期までに ITM になりうるので時間価値があり、価格は正です。満期ちょうどで初めて時間価値が消えます。
「オプションの買いは常に安全」ではない：損失はプレミアムに限定ですが、その全額を失う確率は決して低くありません（OTM で満期を迎えれば全損）。限定なのは損失額で、勝率ではありません。
オプションの売りは「コツコツ拾ってドカンと失う」：プレミアム収入は小さく確実、損失は稀だが青天井。期待値が割に合うかは、適正プレミアム（第5章）と実際の市場価格の差で決まります。

要点（BLUF）

1. コールとプット

2. 満期ペイオフ

3. 買い手と売り手・本質価値・モネネス

⚠️ よくある誤解

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