先物・先渡しと無裁定価格

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：金利と複利　|　関連：二項モデルとリスク中立評価（無裁定の一般化）

要点（BLUF）

先渡し・先物は「将来のある時点に、いま決めた価格で受け渡す」契約。その価格は需給ではなく無裁定で決まります。
配当も保有コストもない資産なら、無裁定の先渡し価格は $F = S_0\,e^{rT}$ 。「いま借金して現物を買って持ち続ける」コストそのものです。
市場の先渡し価格がこれからズレると、キャッシュ・アンド・キャリー裁定で確実な利益が出ます。配当利回り $q$ があれば $F = S_0\,e^{(r-q)T}$ 。

1. 先渡し・先物とは

先渡し契約（forward）は、将来の満期 $T$ に、原資産をいま約束した価格 $F$ で受け渡す相対契約です。**先物（futures）**は取引所で標準化され日々値洗いされる点が違いますが、価格づけの考え方は同じです。買い手は満期に $F$ を払って原資産（満期時の価格 $S_T$ ）を受け取るので、ペイオフは $S_T - F$ 。今この契約に参加するのにお金はかからない（価値ゼロで始まる）——この「契約開始時の価値がゼロ」という条件が $F$ を一意に決めます。

2. 無裁定価格：キャッシュ・アンド・キャリー

先渡しの買いは、実は「現物を借金で買って満期まで持つ」ことで複製できます。次の2つの戦略を比べます。

戦略A：先渡しを価格 $F$ で買う。満期に $F$ 払って原資産を得る。
戦略B：いま $S_0$ を金利 $r$ で借りて現物を買い、満期まで持つ。満期に借金 $S_0e^{rT}$ を返し、原資産を得る。

どちらも満期に「原資産1単位」を手にします。手にするものが同じなら、支払うコストも同じでなければ裁定が生じる——よって

F = S_0\,e^{rT}

これが無裁定先渡し価格です。もし市場価格 $F_{\text{mkt}}$ がこれより高ければ、「先渡しを売り、借金で現物を買って持つ」だけで、満期にリスクなく $F_{\text{mkt}}-S_0e^{rT}$ が残ります。数字で見ます。

import numpy as np

S0, r, T = 100.0, 0.05, 1.0
F_fair = S0*np.exp(r*T)
print(f"無裁定の先渡し価格 F = {F_fair:.4f}")

# 市場の先渡し価格が割高なら（F_mkt > F_fair）裁定が成立
F_mkt = 108.0
repay = S0*np.exp(r*T)          # 満期に返す借金（元利）
profit = F_mkt - repay          # 先渡し売り＋借入現物買いの確定利益
print(f"市場 F={F_mkt} のときの裁定利益: {profit:.4f}")

出力：

無裁定の先渡し価格 F = 105.1271
市場 F=108.0 のときの裁定利益: 2.8729

出力の意味：理論価格は $100\,e^{0.05}=105.13$ 。市場が 108 で取引していれば、「先渡しを 108 で売る／100 借りて現物を買う」を組めば、満期に現物を引き渡して 108 を受け取り、借金 105.13 を返して確実に 2.87 残ります。元手ゼロ・リスクゼロの利益なので、こうした取引が殺到して市場価格は 105.13 に押し戻されます。先渡し価格＝現物価格＋持ち越しコスト（金利）、これが無裁定の最も単純な現れです。

3. 配当・保有コストがある場合

原資産が配当（利回り $q$ ）を生むなら、現物を持つ戦略Bは配当ぶん得をします。その分だけ先渡し価格は下がります。

F = S_0\,e^{(r-q)T}

逆に保管費や保険料（コモディティのキャリーコスト $c$ ）がかかるなら $F=S_0e^{(r+c)T}$ と上がります。配当利回り2%のケースを見ます。

import numpy as np

S0, r, T = 100.0, 0.05, 1.0
q = 0.02                              # 配当利回り
F_div = S0*np.exp((r - q)*T)
print(f"配当利回り q=2% のとき F = {F_div:.4f}")

出力：

配当利回り q=2% のとき F = 103.0455

出力の意味：配当 2% を受け取れるぶん、現物保有が有利になり、先渡し価格は配当なしの 105.13 から 103.05 へ低下します。一般に $F=S_0e^{(r-q)T}$ で、 $r$ （持つコスト）と $q$ （持つ便益）の綱引きで決まります。この「キャリー」の考え方は、株価指数先物・通貨先渡し（ $q$ を外国金利とみなす）・コモディティまで共通の骨格です。

⚠️ よくある誤解

「先渡し価格＝将来の予想価格」ではない： $F=S_0e^{rT}$ に期待リターン $\mu$ は一切入りません。「市場が将来上がると思う」かどうかと無関係に、無裁定だけで決まります。これは二項モデルとリスク中立評価の「価格は $\mu$ に依存しない」と同じ精神です。
先物と先渡しは厳密には少し違う：先物は日々値洗い（マージン）され、金利と価格の相関があると先物価格は先渡しと僅かにズレます。相関ゼロor決定論的金利なら一致します（要最新確認）。
裁定には現物の空売り・借入が要る：理論は摩擦なしを仮定します。現実には空売り規制・借入コスト・取引コストがあり、価格は理論値の周りの狭い帯に収まる、というのが実務の見方です。

要点（BLUF）

1. 先渡し・先物とは

2. 無裁定価格：キャッシュ・アンド・キャリー

3. 配当・保有コストがある場合

⚠️ よくある誤解

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