CVaR（期待ショートフォール）

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：VaR（バリュー・アット・リスク）　|　関連：バックテストとストレステスト

要点（BLUF）

**CVaR（期待ショートフォール）**は「VaR を超える損失の平均」。「最悪のシナリオが起きたとき、平均でどれだけ損するか」を測り、VaR が語らないテールの大きさを埋めます。
CVaR はコヒーレント（整合的）リスク尺度で、とくに劣加法性（分散投資でリスクが増えない）を満たします。VaR はこれを満たしません。
この性質ゆえ、銀行規制（バーゼル）も市場リスクの指標を VaR から期待ショートフォールへ移行しました（要最新確認）。

1. VaRの穴とCVaR

VaR（バリュー・アット・リスク）の致命的な弱点は、「VaR を超えたときにいくら損するか」を何も言わないことでした。99% VaR が 4% でも、残り1%の世界で 5% 損するのか 50% 損するのかで、リスクはまるで違います。CVaR（Conditional VaR ／ Expected Shortfall）は、その尾の部分の平均損失を測ります。

\mathrm{CVaR}_\alpha = \mathbb{E}\!\left[\,L \mid L \ge \mathrm{VaR}_\alpha\,\right]

つまり「最悪の $1-\alpha$ 割」の損失だけを取り出して平均したもの。定義から常に $\mathrm{CVaR}_\alpha \ge \mathrm{VaR}_\alpha$ で、テールが厚いほど両者の差が開きます。

2. CVaRの計算

VaR（バリュー・アット・リスク）と同じ裾の厚いリターンで CVaR を計算します。実装は「損失を大きい順に並べ、最悪 $1-\alpha$ 割の平均を取る」だけ。

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(0)
n = 200000
mu, sigma, df = 0.0005, 0.015, 5
t_raw = stats.t(df).rvs(n, random_state=rng)
returns = mu + sigma*t_raw/np.sqrt(df/(df-2))
alpha = 0.99

def cvar_from_losses(losses, alpha):
    k = int(np.ceil((1-alpha)*len(losses)))     # 最悪 (1-alpha) 割の件数
    return np.sort(losses)[-k:].mean()          # その平均＝期待ショートフォール

losses = -returns
var = np.percentile(losses, alpha*100)
cvar = cvar_from_losses(losses, alpha)
print(f"VaR  {alpha:.0%} = {var:.4f}")
print(f"CVaR {alpha:.0%} = {cvar:.4f}  (最悪1%の損失の平均)")

出力：

VaR  99% = 0.0385
CVaR 99% = 0.0514

出力の意味：99% VaR は 0.0385 ですが、その VaR を超える最悪1%の世界での平均損失（CVaR）は 0.0514 と、3割以上大きい。「99%の日は 3.85% 以内」だけでなく「最悪の日々は平均 5.14% 損する」まで言えるのが CVaR です。裾が厚いほどこの差は広がり、テールリスクの正直な姿が見えます。

3. 劣加法性：VaRの構造的欠陥

リスク尺度に最低限求めたい性質が劣加法性 $\rho(A+B) \le \rho(A) + \rho(B)$ ——「分散投資でリスクは増えない（むしろ減る）」。ところが VaR はこれを破ることがあります。独立に 4% の確率でデフォルトする2つの社債で確かめます。

import numpy as np

def cvar_from_losses(losses, alpha):
    k = int(np.ceil((1-alpha)*len(losses)))
    return np.sort(losses)[-k:].mean()

rng = np.random.default_rng(1)
M = 2000000
def bond_pnl(M, rng):
    default = rng.random(M) < 0.04             # 4%の確率でデフォルト
    return np.where(default, -100.0, 5.0)      # デフォルトで-100, 平時+5

A = bond_pnl(M, rng); B = bond_pnl(M, rng)    # 独立な2社債
def var95(pnl): return -np.percentile(pnl, 5)
def cvar95(pnl): return cvar_from_losses(-pnl, 0.95)

print("【VaR は劣加法性を満たさない】")
print(f"VaR95(A)={var95(A):.1f}, VaR95(B)={var95(B):.1f}, 単純合計={var95(A)+var95(B):.1f}")
print(f"VaR95(A+B)={var95(A+B):.1f}  ← 合計を上回る（分散したのにリスク増）")
print("【CVaR は劣加法性を満たす】")
print(f"CVaR95(A)={cvar95(A):.2f}, CVaR95(B)={cvar95(B):.2f}, 単純合計={cvar95(A)+cvar95(B):.2f}")
print(f"CVaR95(A+B)={cvar95(A+B):.2f}  ← 合計以下（分散効果が正しく出る）")

出力：

【VaR は劣加法性を満たさない】
VaR95(A)=-5.0, VaR95(B)=-5.0, 単純合計=-10.0
VaR95(A+B)=95.0  ← 合計を上回る（分散したのにリスク増）
【CVaR は劣加法性を満たす】
CVaR95(A)=79.55, CVaR95(B)=78.96, 単純合計=158.51
CVaR95(A+B)=98.42  ← 合計以下（分散効果が正しく出る）

出力の意味：各社債単独の 95% VaR は $-5$ （損失がマイナス＝95%の確信では損失なし、むしろ +5 の利益。デフォルト確率4% < 5% のため）。ところが2社債を合わせると VaR95 は 95 に跳ね上がります——どちらかがデフォルトする確率が 7.8% > 5% になり、テールに損失が顔を出すから。 $95 > -10$ で、分散したのにリスクが増えたことになる。これは VaR が「閾値1点しか見ない」ことの構造的欠陥です。一方 CVaR は $\mathrm{CVaR}(A{+}B)=98.4 \le 158.5=$ 単純合計で、分散効果を正しく「リスク減」と評価します。

4. コヒーレントリスク尺度

劣加法性を含む4条件——単調性・並進不変性・正同次性・劣加法性——を満たすリスク尺度を**コヒーレント（整合的）**と呼びます（アルツナーら）。CVaR はコヒーレント、VaR は劣加法性を破るので非コヒーレント。「リスク尺度として CVaR のほうが理論的に健全」という結論です。実務でも、バーゼル銀行監督委員会は市場リスクの内部モデルを 99% VaR から 97.5% 期待ショートフォールへ移行しました（要最新確認）。それでも VaR は直感的で規制の歴史も長く、両者は併用されています。

⚠️ よくある誤解

CVaR は「VaR の次に悪い値」ではない：VaR を超える領域全体の平均です。1点ではなくテール全部を見るので、極端な損失の大きさを反映します。
VaR の劣加法性の破れは特殊例ではない：裾の厚い・離散的な・強く相関した分布で一般に起こります。正規分布なら VaR も劣加法的ですが、現実の損失分布は正規でないことが多い。
CVaR の推定はテールのサンプルに敏感：最悪 $1-\alpha$ 割しか使わないので、サンプルが少ないと不安定。十分なデータかモデルからの大量サンプリング（モンテカルロ）が要ります。