VaR（バリュー・アット・リスク）

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：リスクの測り方　|　数理：正規分布（標準正規・標準化）（統計）・関連：CVaR（期待ショートフォール）

要点（BLUF）

**VaR（バリュー・アット・リスク）**は「信頼水準 $\alpha$ のもとで、一定期間に被る損失がこの額を超えない」という閾値。99% 1日 VaR が 4% なら「99%の日は損失が 4% 以内」という意味です。
計算法は3つ：ヒストリカル法（過去データの経験分位点）、パラメトリック法（正規分布を仮定）、モンテカルロ法（モデルから損失分布を生成）。
リターンの裾が厚い（暴落しやすい）と、正規仮定のパラメトリック法は VaR を過小評価します。ヒストリカルやモンテカルロのほうが大きく出ます。

1. VaRとは

VaR は損失分布の分位点です。信頼水準 $\alpha$ （例：99%）のもとでの VaR は、「損失がこれを超える確率が $1-\alpha$ （例：1%）しかない」という損失額。

\mathrm{VaR}_\alpha = -\,\inf\{\,x : P(R \le x) \ge 1-\alpha\,\}

要するに、リターン分布の下位 $1-\alpha$ 分位点（の符号を反転した損失）です。「99%の確信で、明日の損失はこの額以内」と、リスクを1つの金額に圧縮できるのが普及した理由です。

2. ヒストリカル法とパラメトリック法

代表的な2法を比べます。ヒストリカル法は過去のリターン分布の分位点をそのまま使う（分布の形を仮定しない）。パラメトリック法はリターンが正規分布に従うと仮定し、 $\mathrm{VaR}=-(\mu + \sigma\,z_{1-\alpha})$ で計算します（ $z_{0.01}\approx-2.33$ ）。リターンが裾の厚い（正規より暴落しやすい）t分布に従う場合で、両者の差を見ます。

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(0)
n = 200000
mu, sigma, df = 0.0005, 0.015, 5
# 裾の厚い t分布リターン（標準偏差が sigma になるよう標準化）
t_raw = stats.t(df).rvs(n, random_state=rng)
returns = mu + sigma*t_raw/np.sqrt(df/(df-2))
alpha = 0.99

# ヒストリカル法：経験分位点
var_hist = -np.percentile(returns, (1-alpha)*100)

# パラメトリック法：正規分布を仮定
var_param = -(returns.mean() + returns.std()*stats.norm.ppf(1-alpha))

print(f"信頼水準 {alpha:.0%} の1日VaR（リターン比）")
print(f"ヒストリカル法         = {var_hist:.4f}")
print(f"パラメトリック法(正規) = {var_param:.4f}")
print(f"実現ボラ = {returns.std():.4f}")

出力：

信頼水準 99% の1日VaR（リターン比）
ヒストリカル法         = 0.0385
パラメトリック法(正規) = 0.0344
実現ボラ = 0.0150

出力の意味：同じデータでも、ヒストリカル法の VaR 0.0385 はパラメトリック法 0.0344 より大きい。リターンが正規より裾が厚い（t分布）ため、正規を仮定するパラメトリック法は「めったに無いはずの大損失」を実際より小さく見積もるからです。正規分布の油断——2008年の金融危機で、正規前提の VaR が現実の損失を大幅に下回ったのはこの構造です。分布の形を仮定しないヒストリカル法のほうが、テールを正直に拾います。

3. リスクを見える化する

リターンの分布と VaR の位置を重ねて描くと、正規仮定がどこで裾を取りこぼすかが分かります。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(0)
n = 200000
mu, sigma, df = 0.0005, 0.015, 5
t_raw = stats.t(df).rvs(n, random_state=rng)
returns = mu + sigma*t_raw/np.sqrt(df/(df-2))
alpha = 0.99

var_hist = -np.percentile(returns, (1-alpha)*100)
var_param = -(returns.mean() + returns.std()*stats.norm.ppf(1-alpha))

plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.hist(returns, bins=200, density=True, alpha=0.4, label="リターン分布（裾が厚い）")
x = np.linspace(returns.min(), returns.max(), 400)
plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, returns.mean(), returns.std()), "g-", lw=1.5, label="正規分布の当てはめ")
plt.axvline(-var_hist, color="crimson", ls="--", label=f"ヒストリカルVaR {var_hist:.3f}")
plt.axvline(-var_param, color="darkgreen", ls=":", label=f"パラメトリックVaR {var_param:.3f}")
plt.xlim(-0.08, 0.08)
plt.xlabel("日次リターン"); plt.ylabel("密度")
plt.title("VaR：リターン分布の下側分位点")
plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()

出力の意味：実際の分布（ヒストグラム）は、当てはめた正規分布（緑線）より中央が尖り裾が厚い。VaR の位置（左側の縦線）は、ヒストリカル（赤破線）のほうが正規（緑点線）より左（損失が大きい側）にあります。正規分布は中央付近をよく合わせる代わりに、肝心のテールを薄く見積もる——リスク管理で最も知りたい「めったに無い大損失」を取りこぼすのです。モンテカルロ法は、このヒストグラムをモデル（GBM や多資産シミュレーション）から生成して同じ分位点を取る方法で、複雑なポートフォリオに使えます。

4. 解釈と限界

VaR は便利ですが、読み方に注意が要ります。

「VaR を超えない」だけで、超えたときの大きさは言わない：99% VaR は「1%の確率で超える」が、その1%でいくら損するかは何も語りません。この致命的な穴を埋めるのが CVaR（期待ショートフォール）。
信頼水準と期間をセットで：「99% 1日 VaR」のように必ず明示します。期間は √t則（リスクの測り方）で換算するのが慣例（ただし裾が厚いと近似が崩れます）。

⚠️ よくある誤解

「VaR＝最大損失」ではない：VaR は「 $1-\alpha$ の確率で超える閾値」であって、損失の上限ではありません。テールではもっと大きな損失が起こりえます。
パラメトリックVaRは正規を仮定する：現実のリターンは裾が厚く歪んでいるので、正規仮定は危機時に過小評価します。ヒストリカル法・モンテカルロ法・t分布などの裾の厚い分布で補います。
VaR は加算できない：個々の VaR を足してもポートフォリオの VaR にはなりません。むしろ分散しても VaR が増えることすらある（劣加法性の破れ・CVaR（期待ショートフォール））——VaR の構造的欠陥です。