← シミュレーション 一覧

🎓 第3章：モンテカルロ積分

第3章 モンテカルロ積分

モンテカルロ法の心臓部です。「解析的に解けない積分や期待値を、乱数を振って標本平均で近似する」——この一手で、高次元積分・複雑な確率・期待値計算が数値的に解けます。本章では、なぜ標本平均が積分になるのか（原理）、誤差がなぜ次元に依らず $1/\sqrt{n}$ で縮むのか（収束則）、推定に「±いくつ」をどう付けるか（信頼区間）、そしてπの推定で直観をつかむヒット・アンド・ミス法を扱います。第1章の大数の法則・中心極限定理が理論的支柱、第4章の分散減少法が効率改善の続きです。

トピック一覧

1. モンテカルロ積分の原理 — 基礎
2. 収束率と誤差（√n則） — 標準
3. 推定量の信頼区間 — 標準
4. ヒット・アンド・ミス法 — 基礎

この章の要点

• 原理：積分 $\int_a^b g(x)\,dx$ を期待値 $(b-a)E[g(U)]$ と見て、標本平均で推定する。
• 収束率：誤差は $\sigma/\sqrt{n}$。次元に依らないのが台形則・シンプソン則に対する決定的優位。
• 信頼区間：中心極限定理から $\hat{\theta} \pm 1.96\,\hat{\sigma}/\sqrt{n}$ が 95% 区間。推定に必ず誤差を添える。
• ヒット・アンド・ミス：当たり判定でπを推定。直観的だが、平均法より分散が大きい（非効率）ことも実証。

関連章

• 第1章 大数の法則と中心極限定理の役割 — 収束と誤差の理論的支柱
• 第2章 第2章 乱数生成 目次 — 積分に使う乱数の供給源
• 第4章 第4章 分散減少法 目次 — 同じ精度を少ない標本で（$\sigma$ を下げる）
• 数理最適化：サンプル平均近似（最適化との連携（サンプル平均近似））

上位ハブ

• シミュレーション・モンテカルロ法 全体目次