離散事象シミュレーションとは

🎓 レベル：基礎　|　重要度：A（必須）

📎 前提：モデル化の流れ（系・状態・入力・出力）　|　関連：待ち行列のシミュレーション

要点（BLUF）

離散事象シミュレーション（DES）：状態が飛び飛びのイベント（到着・退出など）でのみ変化する系を、イベントごとに時間を進めて再現します。
中核は未来事象リスト（FEL）とクロック。「次に起きる事象」へクロックを一気に飛ばし、何も起きない時間は計算しません。
単一窓口を次イベント方式で実装し、平均待ち時間 3.986 が M/M/1 理論値 4.000 と一致することを確かめます。

1. なぜイベント駆動か

待ち行列・在庫・通信網のような系は、状態（行列の人数、在庫量）が特定の瞬間にしか変わりません。客が「到着」した瞬間、サービスが「完了」した瞬間——その間の時間、状態は一定です。

この性質を使うのが DES です。時間を細かい $\Delta t$ で刻んで毎ステップ確認する固定時間刻みは、何も起きない時間も計算するので無駄が多い。DES は「次に状態が変わるのはいつか」を事象リストで管理し、クロックをそこへジャンプさせる。イベント数だけ計算すれば済むので、まばらに事象が起きる系で圧倒的に効率的です。

方式	時間の進め方	向く系
固定時間刻み	$\Delta t$ ごとに更新	連続的に変化（ODE・物理）
離散事象（DES）	次の事象時刻へジャンプ	飛び飛びに変化（待ち行列・在庫）

2. 中核の部品

シミュレーションクロック：現在時刻。連続的にではなく、事象から事象へ飛ぶ。
未来事象リスト（Future Event List, FEL）：これから起きる事象を「時刻つき」で保持し、最も早い事象を取り出せる優先度付きキュー（ヒープ）。
状態変数：系の現在（在庫量、行列の人数、サーバの空き）。
事象処理ルーチン：各事象が起きたとき、状態を更新し、次の事象を FEL に登録する。

flowchart TD
    A["FELから最早事象を取り出す"] --> B["クロックをその時刻へ進める"]
    B --> C["状態を更新する"]
    C --> D["新しい事象をFELに登録する"]
    D --> E{"終了条件?"}
    E -->|"いいえ"| A
    E -->|"はい"| F["統計を集計"]

3. 実装：次イベント方式の単一窓口

到着事象とサービス完了事象だけを管理する最小の DES です。ヒープ（heapq）が FEL の役割を果たします。

import numpy as np
import heapq

def next_event_mm1(lam, mu, max_customers, seed):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    clock = 0.0
    n_in_system = 0
    events = []                                   # 未来事象リスト（時刻, 種別）
    heapq.heappush(events, (rng.exponential(1/lam), 'arrival'))
    queue = []                                    # 待ち客の到着時刻
    waits = []
    served = 0
    while served < max_customers:
        clock, kind = heapq.heappop(events)       # 次の事象へクロックを飛ばす
        if kind == 'arrival':
            queue.append(clock)
            heapq.heappush(events, (clock + rng.exponential(1/lam), 'arrival'))
            if n_in_system == 0:                  # サーバ空き→即サービス
                arr = queue.pop(0)
                waits.append(clock - arr)         # 待ち0
                heapq.heappush(events, (clock + rng.exponential(1/mu), 'departure'))
            n_in_system += 1
        else:                                     # サービス完了（退出）
            n_in_system -= 1
            served += 1
            if queue and n_in_system >= 1:        # 次の客をサービス開始
                arr = queue.pop(0)
                waits.append(clock - arr)
                heapq.heappush(events, (clock + rng.exponential(1/mu), 'departure'))
    return np.array(waits)

lam, mu = 0.8, 1.0
w = next_event_mm1(lam, mu, 200_000, seed=5)
print(f"処理客数={len(w)}, 平均待ち時間={w.mean():.3f}, 理論Wq={(lam/mu)/(mu-lam):.3f}")

出力：

処理客数=200001, 平均待ち時間=3.986, 理論Wq=4.000

出力の意味：20万人を処理して平均待ち時間 3.986。M/M/1 の理論値 $W_q = \rho/(\mu-\lambda) = 4.0$ と一致します。注目すべきは、ループが回るのは事象の数だけで、客がいない時間は1ステップも計算していない点。これが DES の効率です。実務では heapq を直書きせず、次トピックのように SimPy のような専用ライブラリで書きます。

4. SimPy という選択肢

FEL やクロックを毎回手書きするのは大変なので、SimPy（プロセスベースの DES ライブラリ）が便利です。「客」をジェネレータ関数として書き、yield env.timeout(...) で時間経過、Resource で窓口の取り合いを表現します。中身は同じイベント駆動ですが、可読性が大きく上がります（待ち行列のシミュレーションで使用）。

数式の直観的意味

DES の効率は「情報がゼロの区間を積分しない」ことに尽きます。固定刻みは $[0,T]$ を $T/\Delta t$ 個のステップに分け、ほとんどのステップで「何も変わらない」を確認するだけ。DES は状態関数が**区分定数（階段関数）**であることを利用し、段差（事象）の位置だけを追う。計算量は $O(T/\Delta t)$ から $O(\text{事象数})$ へ落ちる。理論値と一致するのは、到着間隔・サービス時間を正しい指数分布（代表的分布の生成（正規・指数・ポアソン））で生成し、状態遷移ロジックが M/M/1 の仮定を満たすからです。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

「固定時間刻みの方が正確」ではない：DES は事象時刻を厳密に扱うので、 $\Delta t$ の離散化誤差がなく、むしろ正確。
「FEL は配列でいい」ではない：毎回最小時刻を探すと $O(n)$ 。ヒープ（優先度付きキュー）で $O(\log n)$ にします。
「同時刻の事象は順不同でいい」ではない：同時刻イベントの処理順序が結果を変えることがあります（タイブレークルールを決める）。
「状態を毎ステップ記録すればいい」ではない：時間平均（行列長など）は区間×値で積分。事象間の一定値を時間重みで足します（出力解析（過渡・定常・複製））。
「連続変化する系にも使える」ではない：状態が連続的に変わる系（化学反応の濃度など）は固定刻みや ODE 解法向き。DES は飛び飛びの変化専用。

対応シミュレーション参照

本文の次イベント方式 M/M/1（default_rng(5)、平均待ち 3.986 ≈ 理論 4.0）。