モデル化の流れ（系・状態・入力・出力）

🎓 レベル：基礎　|　重要度：A（必須）

📎 前提：シミュレーションとは（決定的 vs 確率的）　|　関連：離散事象シミュレーションとは

要点（BLUF）

シミュレーションのモデル化は 系（system）・状態（state）・入力（input）・出力（output） の4要素に分解することから始まります。
入力に確率分布を割り当て、状態を時間発展させ、出力を集計する——これが確率的シミュレーションの共通骨格です。
単一窓口の待ち行列を例に平均待ち時間を実測すると 4.05 分。M/M/1 の理論値 4.00 分とよく一致します。

1. モデル化の4要素

現象を計算機の中で動かすには、まず対象を次の4つに切り分けます。

系（system）：シミュレーションの対象となる範囲。境界を決めること（何を含め、何を外部とするか）が出発点。例：「1台の窓口とその待ち客」。
状態（state）：ある時点の系を記述する変数の集合。例：「窓口が空きか塞がりか」「待ち人数」。次の瞬間の挙動は、現在の状態（と入力）で決まる。
入力（input）：系を駆動する外部要因。確率的シミュレーションでは確率分布で与える。例：「客の到着間隔 ~ 指数分布」「サービス時間 ~ 指数分布」。
出力（output）：知りたい性能指標。例：「平均待ち時間」「窓口の稼働率」。

flowchart LR
    I["入力（確率分布）"] --> S["状態（時間発展）"]
    S --> O["出力（性能指標を集計）"]
    S -->|"次の状態を決める"| S

2. モデル化の流れ

目的の明確化：何を知りたいか（平均待ち時間？破綻確率？）。これが出力と必要精度を決める。
系の境界設定：どこまでをモデルに含めるか。
状態変数の選定：系を過不足なく記述する最小の変数群。
入力分布の決定：データやドメイン知識から確率分布を割り当てる。
時間発展ルールの記述：状態がどう更新されるか（次節の例なら「客はひとつ前の客が終わってからサービス開始」）。
出力の集計と検証：多数回（または長時間）走らせて統計量を取り、V&V で正しさを確かめる。

3. 具体例：単一窓口の待ち行列をモデル化する

役所の1窓口を考えます。客は平均到着率 $\lambda = 0.8$ 人/分（到着間隔は指数分布）で来て、サービス時間は平均 $1/\mu = 1$ 分（ $\mu = 1.0$ 人/分の指数分布）。状態は「窓口がいつ空くか」、出力は「平均待ち時間」です。

$i$ 番目の客のサービス開始時刻は「自分の到着時刻」と「前の客の退出時刻」の遅い方：

\text{start}_i = \max(\text{arrival}_i,\ \text{depart}_{i-1}),\qquad \text{wait}_i = \text{start}_i - \text{arrival}_i

import numpy as np

# 乱数シードを固定
rng = np.random.default_rng(7)

n_cust = 100_000                      # 客の人数
inter = rng.exponential(1/0.8, n_cust)  # 到着間隔 ~ 指数(平均1/0.8分)
serv  = rng.exponential(1/1.0, n_cust)  # サービス時間 ~ 指数(平均1分)

arrival = np.cumsum(inter)            # 各客の到着時刻
start = np.zeros(n_cust)
depart = np.zeros(n_cust)
start[0] = arrival[0]
depart[0] = start[0] + serv[0]
for i in range(1, n_cust):            # 状態（窓口が空く時刻）を時間発展
    start[i] = max(arrival[i], depart[i-1])
    depart[i] = start[i] + serv[i]

wait = start - arrival               # 各客の待ち時間
rho = 0.8 / 1.0
wq_theory = rho / (1.0 * (1.0 - rho))  # M/M/1 の平均待ち時間 Wq

print(f"平均待ち時間（シミュ）= {wait.mean():.3f} 分")
print(f"M/M/1 理論値 Wq      = {wq_theory:.3f} 分")

出力：

平均待ち時間（シミュ）= 4.050 分
M/M/1 理論値 Wq      = 4.000 分

出力の意味：10万人の客をシミュレートした平均待ち時間 4.05 分が、待ち行列理論（M/M/1）の理論値 4.00 分とほぼ一致。モデル化（入力＝指数分布、状態＝窓口が空く時刻、出力＝待ち時間の平均）が正しく組めていることの確認になります。理論値との照合は次のV&Vの典型例です。

4. 時間の進め方：固定刻み vs イベント駆動

状態を時間発展させる方法は2通りあります。

固定時間刻み（time-stepping）： $\Delta t$ ごとに状態を更新。物理シミュレーション（ODE）向き。
イベント駆動（event-driven）：状態が変わる瞬間（到着・退出など）だけを処理し、何も起きない時間は飛ばす。待ち行列など離散事象に効率的。上の例は実質イベント駆動です（離散事象シミュレーションとは）。

数式の直観的意味

$\text{start}_i = \max(\text{arrival}_i, \text{depart}_{i-1})$ は「窓口が空いている（前の客が帰った）か、自分が着いたか、遅い方からサービスが始まる」という当たり前の論理を式にしただけです。状態（窓口が空く時刻 $\text{depart}$ ）が次の客の挙動を決める——この状態の引き継ぎこそが、静的な確率計算とシミュレーションを分けるポイントです。理論値と一致するのは、入力分布が M/M/1 の仮定（ポアソン到着・指数サービス）を満たすからです。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

「状態変数は多いほど正確」ではない：目的に必要な最小の状態で十分。余計な変数はバグと計算コストを増やすだけです。
「入力分布は正規分布でいい」ではない：到着間隔やサービス時間は正規だと負の値が出てしまう。指数分布・対数正規など、台が正の分布を選ぶ必要があります。
「1回走らせれば結果が出る」ではない：確率的シミュレーションの出力は分布。多数回（または長時間）走らせて平均と誤差を見ます（出力解析（過渡・定常・複製））。
「シミュレーションは現実そのもの」ではない：モデルは現実の抽象化。境界の外や省いた要因の影響は出ません。だから妥当性確認が要ります。

対応シミュレーション参照

本文の単一窓口待ち行列コード（np.random.default_rng(7)）。離散事象としての一般化は離散事象シミュレーションとはへ。