シミュレーションとは（決定的 vs 確率的）

🎓 レベル：基礎　|　重要度：A（必須）

📎 関連：大数の法則と中心極限定理の役割　|　モンテカルロ積分の原理

要点（BLUF）

シミュレーションは、現象を計算機の中で再現して、解析的に解けない問題の答えを数値的に得る手法です。
方程式を解けば答えが一意に決まるのが決定的シミュレーション、乱数を入力して結果の分布を見るのが確率的（モンテカルロ）シミュレーション。
「乱数で計算する」感覚をつかむため、正方形に点をばらまいて円周率を推定します（100万点で $\pi \approx 3.143$ 、誤差 0.0014）。

1. シミュレーションとは何か

シミュレーションとは、対象の系（system）を計算機の中のモデルとして表現し、それを動かして観測することです。実物で実験できない・高コスト・危険・時間がかかる——そんなときに、モデルを走らせて「もし〜だったらどうなるか」を調べます。

シミュレーションは大きく2種類に分かれます。

決定的（deterministic）シミュレーション：入力が決まれば出力も一意に決まる。微分方程式の数値解法（惑星の軌道、熱伝導、回路）が典型。同じ入力なら何度走らせても同じ結果。
確率的（stochastic）シミュレーション：入力や系の挙動に**乱数（不確実性）**が含まれる。出力は走らせるたびに変わり、結果は分布として現れる。この分布の平均・分散・分位点を読むのが目的。

本テキストが扱うモンテカルロ法は後者です。「乱数を振って、その結果を集計することで、確率・期待値・積分などを数値的に近似する」——これがモンテカルロの中核です。

2. なぜ乱数で計算できるのか

一見すると「乱数を使ったら答えがブレるだけでは？」と思えます。ところが、たくさんの乱数の平均を取ると、真の値に収束する——これが大数の法則の保証です。さらに、その収束の速さ（誤差の大きさ）は中心極限定理が $1/\sqrt{n}$ と教えてくれます。

つまりモンテカルロ法は、**「求めたい量を、ある確率変数の期待値として表現し、その期待値を標本平均で近似する」**という戦略です。詳しい原理はモンテカルロ積分の原理で扱います。

3. 具体例：円周率を乱数で推定する

直観をつかむ定番例です。 $1 \times 1$ の正方形の中に一様乱数で点をばらまき、原点中心の半径1の四分円（面積 $\pi/4$ ）に入った割合を数えます。割合は四分円の面積比に近づくので、4倍すれば $\pi$ の推定になります。

\hat{\pi} = 4 \times \frac{(\text{四分円内の点の数})}{(\text{全点数})}

import numpy as np

# 乱数シードを固定して再現性を確保する
rng = np.random.default_rng(42)

n = 1_000_000                       # ばらまく点の数
points = rng.random((n, 2))         # [0,1)x[0,1) の一様乱数点
inside = (points[:, 0]**2 + points[:, 1]**2) <= 1.0  # 四分円の内側か
pi_est = 4 * inside.mean()          # 内側の割合 x 4

print(f"モンテカルロによるpi推定 (n={n}) = {pi_est:.5f}")
print(f"真のpiとの絶対誤差             = {abs(pi_est - np.pi):.5f}")

出力：

モンテカルロによるpi推定 (n=1000000) = 3.14298
真のpiとの絶対誤差             = 0.00139

出力の意味：100万点で $\pi = 3.14159\ldots$ を 3.143 と推定でき、誤差は約 0.0014。点を増やせばさらに精度が上がりますが、誤差は点数 $n$ に対して $1/\sqrt{n}$ でしか縮まないので、桁を1つ改善するには点を100倍にする必要があります（収束率と誤差（√n則））。これがモンテカルロの「遅いが、次元に強い」という性格の出発点です。

4. 他手法との関係

決定的な数値積分（台形則・シンプソン則）は、1次元なら圧倒的に速く正確です。しかし次元が上がると格子点数が指数的に爆発する（次元の呪い）。モンテカルロは誤差が次元に依らないので、高次元で逆転します（収束率と誤差（√n則））。
確率的シミュレーションの中身は、乱数生成（第2章乱数生成目次）→ 期待値の推定（第3章モンテカルロ積分目次）→ 誤差を減らす工夫（第4章分散減少法目次）という流れで体系化されます。

数式の直観的意味

$\hat{\pi} = 4\bar{X}$ で、 $X_i$ は「点 $i$ が四分円内なら1、外なら0」を取るベルヌーイ変数です。その期待値は $E[X_i] = \pi/4$ （面積比）。標本平均 $\bar{X}$ は大数の法則で $E[X_i]$ に収束するので、 $4\bar{X} \to \pi$ 。**「面積を、当たり判定の平均という期待値に翻訳した」**のがこの推定の本質で、モンテカルロ積分の最小例になっています。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

「乱数だから答えが当てにならない」ではない：1回の試行は当てにならなくても、多数の平均は理論的に真値へ収束します（一致性）。問題は「収束はするが遅い」点で、そこを改善するのが分散減少法です。
「点を増やせば誤差は比例して減る」ではない：誤差は $n$ ではなく $\sqrt{n}$ で縮みます。10倍精度を上げるには点を100倍に。
「シミュレーション＝確率的」ではない：決定的シミュレーション（ODE 数値解法など）も立派なシミュレーションです。本テキストが主に扱うのが確率的（モンテカルロ）なだけです。
「シードを固定すると結果が偏る」ではない：シード固定は再現性のためで、統計的性質は変わりません。むしろ固定しないとデバッグも検証もできません。

対応シミュレーション参照

本文のコードがそのまま検証用シミュレーションです（np.random.default_rng(42) で再現可能）。