Schellingの分居モデル｜シミュレーション

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🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：セルオートマトン　|　関連：群集・流行のエージェントモデル

要点（BLUF）

Schelling の分居モデル：エージェントは「近所の同類割合が許容度を下回ると不満で引っ越す」だけ。個人レベルでは穏健な好みです。
それでも全体は強く分居します——個人の意図とマクロ結果が乖離する、創発の古典例。
許容度40%（過半数が異類でも我慢する緩い基準）でも、同類隣人割合が 0.51 → 0.84 へ上昇。緩い好みが強い分居を生むことを実証します。

1. モデルの設定

格子上に2種類のエージェント（例：●と○）と空き地を配置します。

状態：各セルは「タイプA」「タイプB」「空き」のいずれか。
満足条件：自分の周囲（8近傍）の埋まっているセルのうち、同類の割合が許容度 $\tau$ 以上なら満足。下回れば不満。
行動：不満なエージェントは、ランダムな空き地へ引っ越す。
反復：全員が満足する（または動きが止まる）まで繰り返す。

重要なのは、許容度 $\tau$ が過半数を要求しない緩い値（例 $\tau=0.4$ 、つまり「近所の4割が同類なら満足、過半数が異類でも我慢」）でも、結果がどうなるか、です。

2. 実装

import numpy as np

def schelling(L, empty_frac, tol, steps, seed):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    n = L*L
    n_empty = int(n*empty_frac)
    n_agent = n - n_empty
    # 0=タイプA, 1=タイプB, -1=空き
    cells = np.array([0]*(n_agent//2) + [1]*(n_agent - n_agent//2) + [-1]*n_empty)
    rng.shuffle(cells)
    grid = cells.reshape(L, L)

    def similar_frac(grid):                 # 同類隣人割合の平均
        fracs = []
        for i in range(L):
            for j in range(L):
                if grid[i,j] == -1: continue
                neigh = [grid[(i+di)%L, (j+dj)%L]
                         for di in (-1,0,1) for dj in (-1,0,1) if not (di==0 and dj==0)]
                same = sum(1 for x in neigh if x == grid[i,j])
                tot  = sum(1 for x in neigh if x != -1)
                if tot > 0: fracs.append(same/tot)
        return np.mean(fracs)

    start = similar_frac(grid)
    for s in range(steps):
        empties = list(zip(*np.where(grid == -1)))
        idxs = [(i,j) for i in range(L) for j in range(L) if grid[i,j] != -1]
        rng.shuffle(idxs)
        moved = 0
        for (i,j) in idxs:
            neigh = [grid[(i+di)%L, (j+dj)%L]
                     for di in (-1,0,1) for dj in (-1,0,1) if not (di==0 and dj==0)]
            same = sum(1 for x in neigh if x == grid[i,j])
            tot  = sum(1 for x in neigh if x != -1)
            if tot > 0 and same/tot < tol:          # 不満→空き地へ引っ越す
                k = rng.integers(len(empties)); (ei,ej) = empties[k]
                grid[ei,ej] = grid[i,j]; grid[i,j] = -1
                empties[k] = (i,j); moved += 1
        if moved == 0: break
    return start, similar_frac(grid)

start, end = schelling(L=40, empty_frac=0.1, tol=0.4, steps=50, seed=7)
print(f"許容度40%: 同類隣人割合  開始={start:.3f} → 終了={end:.3f}")

出力：

許容度40%: 同類隣人割合  開始=0.507 → 終了=0.840

出力の意味：初期はランダム配置なので同類隣人割合は約0.51（ほぼ五分五分）。ところが「近所の4割が同類なら満足」という緩い基準で引っ越しを繰り返すだけで、最終的に同類隣人割合が0.84まで上昇——近所のほとんどが同類、という強い分居が生まれました。誰も「分居したい」とは思っていない（過半数が異類でも我慢する設定）のに、です。

3. なぜ緩い好みが強い分居を生むのか

ポイントは連鎖反応です。あるエージェントが不満で引っ越すと、その人が抜けた近所では残った人の同類割合が変わり、新たな不満が生まれる。引っ越し先でも周囲のバランスを崩す。この小さな調整が雪だるま式に伝播し、系全体が「同類が固まった」安定配置へ流れ込みます。個人の許容度（4割でOK）と、実現するマクロ状態（8割同類）の間には大きなギャップがある——これが Schelling の洞察で、「マクロな分居は、必ずしも強い差別的選好の証拠ではない」という社会科学的含意を持ちます。

数式の直観的意味

Schelling モデルは「個人の効用関数の最適化が、社会全体では誰も望まない均衡に至る」例です。各エージェントは局所的な満足だけを追求（ $\tau$ 以上なら動かない）しますが、その局所最適化の集積が大域的な秩序（分居）を作る。これはセルオートマトンの創発と同じ構図——局所ルールの反復がマクロ構造を決める——を、効用と移動という社会的な装置で表したもの。乱数（引っ越し先の選択・更新順）が入る点が決定的なライフゲームと違い、結果はシード依存でばらつきますが、「緩い選好→強い分居」という定性的な創発は頑健に再現されます。許容度 $\tau$ を上げていくと、ある点から分居が急に強まる閾値的な振る舞いも見られ、これは次の流行モデルの閾値現象と通じます。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

「強い分居＝強い差別的選好」ではない：これがモデルの核心。緩い選好でも分居は起きます。マクロから個人の意図は逆算できません。
「結果はシードによらず同じ」ではない：乱数が入るので配置は毎回違う。ただし「緩い選好→強い分居」の傾向は頑健。再現性のためシード固定は必須。
「許容度が高いほど分居する」ではない：許容度が極端に高い（同類ばかりを要求）と、誰も満足できず系が落ち着かない・分居が崩れることも。中間で最も顕著。
「空き地は不要」ではない：引っ越し先が要るので空き地が必須。空き地ゼロだと誰も動けません。
「分居は唯一の安定状態」ではない：複数の安定配置があり、初期条件と乱数で到達先が変わります。

対応シミュレーション参照

本文の Schelling 分居（default_rng(7)、許容度0.4で同類割合 0.51→0.84）。