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第5章 マルチンゲール
マルチンゲールは「公平な賭け」を数学的に抽象化した過程です。次の値の条件付き期待値が現在の値に等しい — つまり、今ある情報では将来の損得を予測できない。この一見ささやかな性質から、収束定理・不等式・任意停止定理という強力な道具が生まれ、ランダムウォークの解析、ブラウン運動の性質、金融の無裁定価格付けまでを貫きます。
トピック一覧
- 条件付き期待値とフィルトレーション — 情報の増大系と、情報で条件づけた最良予測
- マルチンゲールの定義と例 — 公平性の定式化と代表例（ランダムウォーク・補正二乗・ポリアの壺）
- 停止時刻と任意停止定理 — 「いつ止めるか」と、賭けの公平性が停止後も保たれる条件
この章の位置づけ
マルチンゲールはランダムウォークと再帰性の解析道具であり、ブラウン運動の定義と性質は連続時間マルチンゲールの代表、伊藤積分はマルチンゲールを保つ積分として構成されます。任意停止定理は金融の無裁定（→金融工学）の数理的核です。
関連分野
- 無裁定・オプション価格付け → 金融工学
- 確率的近似・確率的勾配法の収束 → 機械学習