同時方程式モデル｜計量経済学

🎓 レベル：発展　|　重要度：B（推奨） 📎 土台：操作変数法と2SLS・重回帰分析（統計）・内生性とは（バイアスの源の地図）

要点（BLUF）

同時方程式モデル ＝複数の式が同じ内生変数を同時に決める体系。需要と供給が価格と数量を一緒に決める、が原型です。
価格を数量に回帰しても、需要曲線でも供給曲線でもない両者の混合しか得られない（同時性バイアス）。これは内生性の一種（内生性とは（バイアスの源の地図））。
解は識別：各式に固有の**外生シフター（操作変数）**があれば、その式を取り出せる。供給シフター（天候）が需要曲線を、需要シフター（所得）が供給曲線を識別します。

1. 問題：均衡点だけを見ても曲線は引けない

需要と供給：

Q^d=\alpha_0+\alpha_1 P+\alpha_2 \text{(所得)}+u^d,\qquad Q^s=\beta_0+\beta_1 P+\beta_2 \text{(天候)}+u^s

観測されるのは需要＝供給で決まる均衡の $(P,Q)$ だけ。 $Q$ を $P$ に回帰しても、 $P$ が両式に現れて内生（ $P$ と $u^d,u^s$ が相関）なので、需要の傾き $\alpha_1$ も供給の傾き $\beta_1$ も取り出せません。得られるのは均衡点の散らばりという混合物です。

2. 識別の鍵：各式に固有の外生シフター

flowchart LR
    W["天候（供給シフター・需要に無関係）"] -->|"供給を動かす"| EQ["均衡の P, Q が動く"]
    I["所得（需要シフター・供給に無関係）"] -->|"需要を動かす"| EQ
    EQ --> D["天候の変動 → 需要曲線をなぞる"]
    EQ --> S["所得の変動 → 供給曲線をなぞる"]

天候は供給だけを動かす（需要には無関係）ので、天候が動かした均衡点をつなぐと需要曲線が浮かび上がる。逆に所得は需要だけを動かすので、所得の変動は供給曲線を描く。つまり「自分の式には現れず、相手の式に現れる外生変数」が操作変数になります（操作変数法と2SLS）。これが同時方程式での識別の心臓です。

3. 識別条件と推定

次数条件（必要条件）：ある式を識別するには、その式から除外された外生変数の数 ≥ その式の内生説明変数の数。除外された外生シフターが操作変数の弾になります。
階数条件（必要十分）：除外変数が実際に他式で効いていて、行列の階数が足りること。
推定：式ごとに2SLSを当てる（限定情報法）か、体系全体を同時に推定する3SLS・FIML（完全情報法）。完全情報法は効率が高い反面、1つの式の誤指定が全体に波及します。

経済学の古典的問題（需要・供給の弾力性、マクロの連立モデル）がここに属し、操作変数法（操作変数の考え方）が同時性の文脈で自然に再登場します。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

「価格を数量に回帰すれば需要曲線」ではない：均衡の混合物しか出ない。固有の外生シフターで識別が必要。
「方程式を増やせば識別できる」ではない：必要なのは除外された外生変数。式を足しても外生シフターが無ければ識別不能（次数条件を満たさない）。
「3SLSは常に2SLSより良い」ではない：効率は高いが、どこか1式の誤指定が全式の係数を汚す。頑健性なら式ごとの2SLSが安全なことも。
誘導形と構造形の混同：内生変数を外生変数だけで表した誘導形は推定できても、それ単独では構造パラメータ（弾力性）を取り出せません。識別があって初めて構造形に戻せます。

要点（BLUF）

1. 問題：均衡点だけを見ても曲線は引けない

2. 識別の鍵：各式に固有の外生シフター

3. 識別条件と推定

⚠️ よくある誤解・落とし穴

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