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🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須） 📎 土台：操作変数法と2SLS（因果推論・IVの識別）・重回帰分析（統計・OLS）・操作変数の考え方

要点（BLUF）

• 2SLS（2段階最小二乗） ＝ 操作変数法の標準的な実装。第1段で内生変数 $x$ を操作変数 $z$ に回帰して**予測値 $\hat x$（外生部分）**を作り、第2段で $y$ を $\hat x$ に回帰します。
• $\hat x$ は「$z$ が動かした分」だけを含み交絡と無相関なので、第2段の係数は一致推定量になります（OLSの偏りが消える）。
• 命綱は第1段の強さ。操作変数が弱い（第1段 $F<10$ 目安）と、2SLSはOLSより悪い弱操作変数バイアスを起こします。

1. 2SLSの手順

内生変数 $x$、操作変数 $z$、外生コントロール $w$（あれば）に対し：

第1段で $x$ を「$z$・$w$ で説明できる部分 $\hat x$」と「残り $v$（交絡を含む）」に分解し、$\hat x$ だけを第2段で使う。$\hat x$ は構成上 $z,w$ の関数なので交絡 $u$ と無相関——これが偏りの消える理由です。実務では手計算の二段ではなく IV2SLS（標準誤差が正しく出る）を使いますが、論理は上の二段そのものです。

flowchart LR
    A["内生変数 x（交絡で汚れている）"] --> B["第1段: x を z, w に回帰"]
    B --> C["予測値 x̂（z 由来＝外生部分のみ）"]
    C --> D["第2段: y を x̂ に回帰"]
    D --> E["β̂ は一致推定（OLSの偏りが消える）"]

2. 実証：内生性でOLSが偏る → 2SLSで直る

未観測の能力 ability が教育 educ と賃金 wage の両方を押し上げる（欠落変数バイアス）状況を作ります。操作変数 z（例：近所に大学があるか）は educ に効くが ability とは無関係（外生）。真の教育の収益は $0.5$ です。

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

np.random.seed(0)
n = 5000
# 能力 ability は未観測の交絡（educ と wage の両方を押し上げる）
ability = np.random.normal(0, 1, n)
# 操作変数 z（近所に大学があるか）：educ に効くが ability とは無関係（外生）
z = np.random.normal(0, 1, n)
# 教育年数：操作変数 z と 未観測能力 ability で決まる（→ educ は内生）
educ = 0.7 * z + 0.6 * ability + np.random.normal(0, 1, n)
# 真の教育の収益（賃金への因果効果）は 0.5
beta_true = 0.5
wage = beta_true * educ + 1.0 * ability + np.random.normal(0, 1, n)

# (1) 素朴な OLS：ability が欠落 → educ と誤差が相関 → 上方バイアス
ols = sm.OLS(wage, sm.add_constant(educ)).fit()
print(f"真の効果              = {beta_true:.3f}")
print(f"OLS（内生性で偏り）    = {ols.params[1]:.3f}")

# (2) 2SLS（手計算）：第1段 educ を z に回帰 → 予測値 educ_hat（z 由来＝外生部分）
first = sm.OLS(educ, sm.add_constant(z)).fit()
educ_hat = first.fittedvalues
# 第2段：wage を educ_hat に回帰
second = sm.OLS(wage, sm.add_constant(educ_hat)).fit()
print(f"2SLS（操作変数で補正） = {second.params[1]:.3f}")

# 操作変数の関連性（第1段の t・弱操作変数でないか）
print(f"第1段 z の t 値        = {first.tvalues[1]:.1f}（大きいほど関連性が強い）")

出力：

真の効果              = 0.500
OLS（内生性で偏り）    = 0.814
2SLS（操作変数で補正） = 0.485
第1段 z の t 値        = 42.6

出力の意味：OLSは $0.814$ と真値 $0.500$ から大きく上振れしました——能力という交絡が教育と賃金の両方を押し上げ、教育の係数に紛れ込んだためです（内生性とは（バイアスの源の地図））。2SLSは $0.485$ とほぼ真値を回収。第1段で教育の「$z$ が動かした外生部分」だけを取り出し、能力由来の汚れた変動を捨てたからです。第1段の $z$ の $t$値は $42.6$ と非常に大きく、強い操作変数であることも確認できます（弱操作変数なら2SLSも信頼できません）。

3. 弱操作変数の害

第1段が弱い（$\mathrm{Cov}(z,x)\approx 0$）と、2SLSは深刻に劣化します：(1) 有限標本バイアスがOLS方向に残る、(2) 標準誤差が爆発して推定が不安定、(3) 漸近近似が効かず信頼区間が信用できない。診断は第1段の $F$ 統計量（操作変数が複数なら同時 $F$）。経験則は $F>10$、近年はより厳しい基準（実効 $F$）も使われます。弱いときは、操作変数を選び直すか、弱操作変数に頑健な推定（LIML・Anderson–Rubin信頼区間）に切り替えます。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

• 手計算2SLSの標準誤差は間違い：第2段で $\hat x$ を「観測値」のように扱うと標準誤差が過小になる。点推定の論理確認には使えるが、実務は IV2SLS を使い正しい標準誤差を得ること。
• 「操作変数があれば常にOLSより良い」ではない：弱操作変数だと2SLSの方が悪い。$F$ で強さを必ず確認。
• 「2SLSの係数はOLSより小さくなる」ではない：偏りの向き次第。測定誤差の希薄化（内生性とは（バイアスの源の地図））が主因なら2SLSはOLSより大きくなります。
• 「過剰識別検定が通れば除外制約はOK」ではない：Sargan/Hansen検定は操作変数どうしの整合性を見るだけ。除外制約そのものは論証で守る（操作変数の考え方）。

関連ノート

• 操作変数の考え方（3条件と操作変数の探し方）
• 同時方程式モデル（同時性の文脈での操作変数）
• 差分の差分（DID）（別ルートの準実験的識別）
• 操作変数法と2SLS（因果推論・LATEと識別）
• 内生性と操作変数 目次
• 計量経済学 全体目次