CAPMと証券市場線｜金融工学

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：効率的フロンティア　|　数理：単回帰分析（統計・最小二乗とベータ推定）

要点（BLUF）

**CAPM（資本資産価格モデル）**は、資産の要求期待リターンを「リスクフリー＋ベータ×市場リスクプレミアム」で説明します： $E[R_i] = R_f + \beta_i\,(E[R_m]-R_f)$ 。
ベータ $\beta_i = \mathrm{Cov}(R_i, R_m)/\mathrm{Var}(R_m)$ は市場への感応度。分散投資で消せる固有リスクは報われず、消せないシステマティックリスク（＝ベータ）だけが報われるというのが核心です。
ベータと期待リターンの関係を描いた直線が証券市場線（SML）。実データではベータを回帰で推定し、線から上振れた切片がアルファ（モデルで説明できない超過収益）です。

1. システマティックリスクと固有リスク

効率的フロンティアの分離定理から、全投資家は同じ危険資産ポートフォリオ（接点）を持ちます。これを市場全体に広げると、接点ポートフォリオは市場ポートフォリオ $M$ （すべての資産を時価総額比で持つもの）に一致します。

ここで各資産のリスクを2つに分けます。

\underbrace{\sigma_i^2}_{\text{総リスク}} = \underbrace{\beta_i^2\,\sigma_m^2}_{\text{システマティック（市場）リスク}} + \underbrace{\sigma_{\varepsilon_i}^2}_{\text{固有（分散可能）リスク}}

固有リスク $\sigma_{\varepsilon_i}^2$ は、多数の資産を持てば打ち消し合って消えます（リスクの測り方の分散投資）。投資家は努力なしに消せるリスクには対価を払いません。だから報われるのは、分散しても消えないシステマティックリスク（ベータ）だけ。これが CAPM の経済的な心臓部です。

2. CAPMの式とベータ

市場ポートフォリオへの資産 $i$ の限界的なリスク寄与は、その資産と市場の共分散に比例します。均衡では、どの資産も「リスク1単位あたりの超過リターン」が等しくならねばならず、整理すると次のシンプルな式に行き着きます。

E[R_i] - R_f = \beta_i\,\bigl(E[R_m] - R_f\bigr), \qquad \beta_i = \frac{\mathrm{Cov}(R_i, R_m)}{\mathrm{Var}(R_m)}

ベータの読み方は明快です。 $\beta=1$ なら市場と同じだけ動く（市場ポートフォリオ自身）。 $\beta=1.5$ なら市場が1%上がると平均1.5%上がる（攻撃的）。 $\beta=0.5$ なら0.5%（守備的）。 $\beta=0$ なら市場と無相関で、要求リターンはリスクフリーに等しくなります。

3. ベータの推定（回帰）

ベータは、資産の超過リターンを市場の超過リターンに回帰した傾きとして推定できます（単回帰分析（統計））。

R_i - R_f = \alpha_i + \beta_i\,(R_m - R_f) + \varepsilon_i

真のベータが分かっている合成データを作り、回帰で復元できるか確かめます。

import numpy as np
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(0)
n_months = 120
rf_m = 0.03/12                                     # 月次リスクフリー
market_excess = rng.normal(0.005, 0.04, n_months)  # 市場の超過リターン（月次）

true_betas = [0.5, 1.0, 1.5]
print("資産  真のβ   推定β    推定α(月次)")
for i, beta in enumerate(true_betas):
    idio = rng.normal(0, 0.02, n_months)           # 固有リスク（市場と無相関）
    asset_excess = beta*market_excess + idio       # CAPM: 超過 = β×市場超過 + 固有
    reg = stats.linregress(market_excess, asset_excess)
    print(f"{i+1}      {beta:.2f}    {reg.slope:.4f}   {reg.intercept:+.5f}")

出力：

資産  真のβ   推定β    推定α(月次)
1      0.50    0.4621   -0.00221
2      1.00    1.0063   -0.00109
3      1.50    1.4389   +0.00054

出力の意味：回帰の傾きが推定ベータで、真の値（0.5・1.0・1.5）をおおむね復元できています（0.46・1.01・1.44）。ぴたり一致しないのは、120ヶ月という有限サンプルと固有リスクのノイズのためです。切片（推定アルファ）はどれも 0 に近い——合成データを「アルファ無し（CAPM が正しい）」で作ったので当然です。実データでベータを測るときは、このように市場超過リターンへの回帰を使います。

4. 証券市場線とアルファ

CAPM の式 $E[R_i]=R_f+\beta_i(E[R_m]-R_f)$ を、横軸ベータ・縦軸期待リターンの平面に描いた直線が**証券市場線（SML: Security Market Line）**です。切片が $R_f$ 、傾きが市場リスクプレミアム $E[R_m]-R_f$ 。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

rf = 0.03            # 年率リスクフリー
mkt_prem = 0.06      # 市場リスクプレミアム E[Rm]-Rf

betas = np.linspace(0, 2, 100)
sml = rf + betas*mkt_prem

plt.figure(figsize=(7, 4))
plt.plot(betas, sml, lw=2, label="証券市場線 SML")
plt.scatter(1.0, rf + mkt_prem, color="black", zorder=6, label="市場ポートフォリオ (β=1)")
plt.xlabel("ベータ β"); plt.ylabel("要求期待リターン")
plt.title("証券市場線（SML）")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3); plt.tight_layout(); plt.show()

for beta in [0.0, 0.5, 1.0, 1.5]:
    print(f"β={beta:.1f}: 要求リターン = {rf + beta*mkt_prem:.2%}")

出力：

β=0.0: 要求リターン = 3.00%
β=0.5: 要求リターン = 6.00%
β=1.0: 要求リターン = 9.00%
β=1.5: 要求リターン = 12.00%

出力の意味：ベータが大きいほど、SML 上の要求リターンも直線的に上がります（ $\beta=1$ で市場と同じ 9%）。実際の資産が SML より上にあれば、ベータで説明される以上に儲かっている＝プラスのアルファ（割安・運用の付加価値）。下なら割高です。アルファ（CAPM 回帰の切片＝ジェンセンのアルファ）はファンドの実力を測る基本指標になります。次のシャープレシオとパフォーマンス評価で、こうした評価指標を整理します。

⚠️ よくある誤解

「リスクが高いほどリターンが高い」ではない：報われるのはベータ（システマティックリスク）だけ。総リスク（ボラ）が大きくても、その中身が固有リスクなら CAPM は対価を与えません。分散で消せるリスクに市場は払わないからです。
「ベータは固定の定数」ではない：ベータは推定値で、期間・市場指標の選び方・サンプルで変わります。回帰の標準誤差も大きく、過去ベータが将来も続く保証はありません（要最新確認）。
CAPM は強い仮定の上のモデル：単一期間・同質的期待・摩擦なしなどを仮定します。実証では小型株効果・バリュー効果など CAPM で説明しきれない「アノマリー」があり、ファーマ＝フレンチの多因子モデルへ拡張されました（第9章・要最新確認）。