効率的フロンティア

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：平均分散分析　|　数理：凸最適化の基礎（機械学習・制約付き最適化）

要点（BLUF）

$n$ 資産に広げると、各目標リターンに対して分散を最小化する配分が決まります。それらを結んだ上側の曲線が効率的フロンティア——「同じリスクなら最大リターン」の配分の集合です。
左端が最小分散ポートフォリオ（MVP）。MVP より下側は、同じリスクでより低いリターンしか得られないので非効率です。
リスクフリー資産を加えると、フロンティアへの接線（資本市場線 CML）がすべてを支配し、接点が接点ポートフォリオになります。全投資家は「リスクフリー＋接点」の組合せだけを持てばよい（分離定理）。

1. n資産への一般化と最適化問題

平均分散分析の式 $\mu_p=\mathbf{w}^\top\boldsymbol\mu$ 、 $\sigma_p^2=\mathbf{w}^\top\Sigma\mathbf{w}$ は資産数 $n$ がいくつでもそのまま使えます。効率的フロンティアは、**「目標リターン $\mu^\ast$ を達成する中で分散が最小の配分」**を $\mu^\ast$ を動かしながら集めたものです。これは制約付き最適化問題になります。

\min_{\mathbf{w}}\ \mathbf{w}^\top\Sigma\,\mathbf{w} \quad\text{s.t.}\quad \mathbf{w}^\top\boldsymbol\mu = \mu^\ast,\ \ \mathbf{w}^\top\mathbf{1}=1

目的関数 $\mathbf{w}^\top\Sigma\mathbf{w}$ は（ $\Sigma$ が正定値なら）凸なので、これは凸最適化です（凸最適化の基礎（機械学習））。空売り禁止なら $w_i\ge 0$ の制約を加えます。とくに最小分散ポートフォリオはリターン制約を外した

\mathbf{w}_{\text{MVP}} = \frac{\Sigma^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}^\top\Sigma^{-1}\mathbf{1}}

という閉じた形で書けます（ラグランジュ未定乗数法で導けます）。4資産で実際にフロンティアを描きます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
from scipy.optimize import minimize

mu = np.array([0.08, 0.12, 0.15, 0.10])      # 各資産の期待リターン
sig = np.array([0.12, 0.20, 0.25, 0.15])     # 各資産のボラ
corr = np.array([
    [1.00, 0.30, 0.20, 0.40],
    [0.30, 1.00, 0.50, 0.30],
    [0.20, 0.50, 1.00, 0.25],
    [0.40, 0.30, 0.25, 1.00],
])
Sigma = np.outer(sig, sig) * corr            # 共分散行列
n = len(mu)

# ランダムなロングオンリー配分の雲
rng = np.random.default_rng(0)
W = rng.random((5000, n)); W /= W.sum(axis=1, keepdims=True)
rets = W @ mu
vols = np.sqrt(np.einsum("ij,jk,ik->i", W, Sigma, W))

# 効率的フロンティア（目標リターンごとに分散最小化、long-only）
def pvol(w): return np.sqrt(w @ Sigma @ w)
targets = np.linspace(mu.min(), mu.max(), 50)
front_vols = []
for tr in targets:
    cons = [{"type": "eq", "fun": lambda w: w.sum() - 1},
            {"type": "eq", "fun": lambda w, tr=tr: w @ mu - tr}]
    res = minimize(pvol, np.repeat(1/n, n), bounds=[(0, 1)]*n, constraints=cons)
    front_vols.append(res.fun)
front_vols = np.array(front_vols)

# 最小分散ポートフォリオ（解析解、ショート許容）
ones = np.ones(n); Sinv = np.linalg.inv(Sigma)
w_mvp = Sinv @ ones / (ones @ Sinv @ ones)
mvp_ret, mvp_vol = w_mvp @ mu, np.sqrt(w_mvp @ Sigma @ w_mvp)

plt.figure(figsize=(7, 5))
plt.scatter(vols, rets, s=6, alpha=0.3, label="ランダムな配分")
plt.plot(front_vols, targets, "k-", lw=2, label="効率的フロンティア")
plt.scatter(mvp_vol, mvp_ret, color="crimson", zorder=5, label="最小分散ポートフォリオ")
plt.xlabel("リスク（年率ボラ）"); plt.ylabel("期待リターン")
plt.title("効率的フロンティア（4資産）")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3); plt.tight_layout(); plt.show()

print("MVP 配分:", np.round(w_mvp, 4))
print(f"MVP リターン {mvp_ret:.4%}, ボラ {mvp_vol:.4%}")

出力：

MVP 配分: [0.6001 0.0875 0.0516 0.2607]
MVP リターン 9.2329%, ボラ 10.7047%

出力の意味：ランダムな配分（点の雲）はすべて、フロンティアの曲線より右側（高リスク側）に入ります。フロンティアは「与えられたリスクで到達できるリターンの上限」です。MVP（赤点）はボラ 10.70% で、どの単独資産（最小でも資産Aの12%）より低リスク。フロンティアの MVP より上側だけが「効率的」——下側は同じリスクでわざわざ低リターンを選ぶことになり、誰も選びません。

2. リスクフリー資産と資本市場線

ここにリスクフリー資産（国債など、ボラ 0・確実なリターン $R_f$ ）を加えると、状況が一変します。リスクフリー資産と任意の危険資産ポートフォリオ $P$ を混ぜた組合せは、リスク・リターン平面で直線になります（リスクフリーのボラが0だから）。この直線の傾きはシャープレシオ $(\mu_P-R_f)/\sigma_P$ 。傾きが最大になるのは、 $R_f$ から引いた直線が効率的フロンティアに接するときで、その接点を接点ポートフォリオ、直線を**資本市場線（CML: Capital Market Line）**と呼びます。

\mu = R_f + \underbrace{\frac{\mu_{\text{tan}}-R_f}{\sigma_{\text{tan}}}}_{\text{接点のシャープレシオ}}\,\sigma

接点ポートフォリオも閉じた形で求まります（リスクフリー資産があるとき）。

\mathbf{w}_{\text{tan}} = \frac{\Sigma^{-1}(\boldsymbol\mu - R_f\mathbf{1})}{\mathbf{1}^\top\Sigma^{-1}(\boldsymbol\mu - R_f\mathbf{1})}

import numpy as np

mu = np.array([0.08, 0.12, 0.15, 0.10])
sig = np.array([0.12, 0.20, 0.25, 0.15])
corr = np.array([
    [1.00, 0.30, 0.20, 0.40],
    [0.30, 1.00, 0.50, 0.30],
    [0.20, 0.50, 1.00, 0.25],
    [0.40, 0.30, 0.25, 1.00],
])
Sigma = np.outer(sig, sig) * corr
ones = np.ones(len(mu)); Sinv = np.linalg.inv(Sigma)

rf = 0.03                              # リスクフリー金利
excess = mu - rf*ones
w_tan = Sinv @ excess / (ones @ Sinv @ excess)   # 接点ポートフォリオ

tan_ret = w_tan @ mu
tan_vol = np.sqrt(w_tan @ Sigma @ w_tan)
tan_sharpe = (tan_ret - rf) / tan_vol

print("接点ポートフォリオ 配分:", np.round(w_tan, 4))
print(f"接点 リターン {tan_ret:.4%}, ボラ {tan_vol:.4%}")
print(f"接点 シャープレシオ（=資本市場線の傾き）: {tan_sharpe:.4f}")

出力：

接点ポートフォリオ 配分: [0.3124 0.151  0.2142 0.3223]
接点 リターン 10.7484%, ボラ 11.9353%
接点 シャープレシオ（=資本市場線の傾き）: 0.6492

出力の意味：接点ポートフォリオは4資産すべてをプラスで保有し（配分はすべて正）、シャープレシオは 0.6492。これが**「危険資産だけで作れる最良の組合せ」**です。投資家は、自分のリスク許容度に応じて「リスクフリーをどれだけ持つか」を変えるだけ——危険資産の中身（接点ポートフォリオ）は誰でも同じになります。

3. 分離定理：誰もが同じ危険資産ポートフォリオを持つ

この「全投資家がリスクフリー資産と同一の接点ポートフォリオの組合せを持つ」という結論を**分離定理（two-fund separation）**と呼びます。リスク回避度の違いは「リスクフリーと接点の比率」だけに現れ、危険資産の構成比は共通です。

flowchart LR
  RF["リスクフリー資産 (国債)"] --> CML["資本市場線 (CML)"]
  TAN["接点ポートフォリオ (危険資産の最適配分)"] --> CML
  CML --> INV["各投資家の最適 = RF と接点の比率を変えるだけ"]

この「みんなが同じ危険資産ポートフォリオを持つ」という発想を、市場全体に当てはめると——接点ポートフォリオは市場ポートフォリオそのものになり、次の CAPMと証券市場線の出発点になります。

⚠️ よくある誤解

「フロンティアは全部が効率的」ではない：効率的なのは MVP より上側だけです。下側（同じリスクで低リターン）は非効率で、誰も選びません。「効率的フロンティア」は上半分を指します。
空売りの可否でフロンティアは変わる：上のコードは bounds=[(0,1)] で空売り禁止にしています。空売りを許すと配分が負も取れ、フロンティアはより外側（左上）に広がります。閉形式の MVP・接点は空売りを許した解です。
接点ポートフォリオはリスクフリー金利 $R_f$ に依存する： $R_f$ が変われば接線の起点が動き、接点も動きます。「最良の危険資産ポートフォリオ」は金利環境とセットで決まります。

要点（BLUF）

1. n資産への一般化と最適化問題

2. リスクフリー資産と資本市場線

3. 分離定理：誰もが同じ危険資産ポートフォリオを持つ

⚠️ よくある誤解

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