平均分散分析｜金融工学

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：リスクの測り方　|　数理：分散共分散行列・相関行列（統計）・期待値・分散の性質（線形性・和の分散・共分散）（統計）

要点（BLUF）

ポートフォリオの期待リターンは構成比の加重平均 $\mu_p = \mathbf{w}^\top\boldsymbol\mu$ 。**リスク（分散）**は $\sigma_p^2 = \mathbf{w}^\top\Sigma\mathbf{w}$ で、共分散項のぶん単純な加重平均より小さくできます。
平均分散分析（マーコウィッツ）は、資産配分を「期待リターン」と「分散」の2軸だけで評価する枠組み。同じリターンならリスク最小を、同じリスクならリターン最大を選びます。
2資産でも、相関が1未満なら、混ぜることでどちらの単独資産よりも低リスクなポートフォリオ（最小分散ポートフォリオ）が作れます。

1. ポートフォリオの期待リターンとリスク

$n$ 個の資産に構成比 $\mathbf{w}=(w_1,\dots,w_n)^\top$ （ $\sum_i w_i = 1$ ）で投資するとき、ポートフォリオのリターンは各資産リターンの加重和 $R_p = \sum_i w_i R_i$ 。期待値は線形なので、期待リターンはそのまま加重平均です。

\mu_p = E[R_p] = \sum_{i} w_i\,\mu_i = \mathbf{w}^\top\boldsymbol\mu

いっぽう分散は、期待値・分散の性質（線形性・和の分散・共分散）（統計）の分散の展開から、自分自身の分散と資産間の共分散がすべて足し合わさります。

\sigma_p^2 = \mathrm{Var}(R_p) = \sum_{i}\sum_{j} w_i w_j\,\sigma_{ij} = \mathbf{w}^\top\Sigma\,\mathbf{w}

ここで $\Sigma$ は共分散行列（対角が各資産の分散 $\sigma_{ii}=\sigma_i^2$ 、非対角が共分散 $\sigma_{ij}$ ）。期待リターンは線形、リスクは二次形式——この非対称性こそ、分散投資でリスクだけを削れる理由です。リターンは混ぜても加重平均のまま、リスクは共分散が低ければ加重平均を下回ります。

2. 2資産のリスク・リターン平面

2資産 $A, B$ を構成比 $w, 1-w$ で持つと、上の式は

\mu_p = w\mu_A + (1-w)\mu_B, \qquad \sigma_p^2 = w^2\sigma_A^2 + (1-w)^2\sigma_B^2 + 2w(1-w)\rho\,\sigma_A\sigma_B

$w$ を 0 から 1 まで動かすと、リスク・リターン平面に1本の曲線が描けます。低リターン低リスクの資産Aと、高リターン高リスクの資産Bを混ぜてみます。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

mu_a, sig_a = 0.08, 0.12     # 資産A：低リターン低リスク
mu_b, sig_b = 0.15, 0.25     # 資産B：高リターン高リスク
rho = 0.3                    # 相関

w = np.linspace(0, 1, 101)              # 資産Aの構成比
port_ret = w*mu_a + (1-w)*mu_b
port_var = (w*sig_a)**2 + ((1-w)*sig_b)**2 + 2*w*(1-w)*rho*sig_a*sig_b
port_vol = np.sqrt(port_var)

plt.figure(figsize=(7, 5))
plt.plot(port_vol, port_ret, lw=2, label="ポートフォリオ（w を変化）")
plt.scatter([sig_a, sig_b], [mu_a, mu_b], color="crimson", zorder=5)
plt.annotate("資産A", (sig_a, mu_a), textcoords="offset points", xytext=(8, -10))
plt.annotate("資産B", (sig_b, mu_b), textcoords="offset points", xytext=(8, -4))
plt.xlabel("リスク（年率ボラ σ_p）"); plt.ylabel("期待リターン μ_p")
plt.title("2資産のリスク・リターン平面")
plt.legend(); plt.grid(alpha=0.3); plt.tight_layout(); plt.show()

出力の意味：曲線は資産Aと資産Bを両端に結ぶ「弾丸（bullet）」の形になります。注目すべきは、曲線が左に膨らむこと——同じリターンでも、混ぜたほうが単独より左（低リスク）に来る領域があります。もし相関が $1$ なら曲線は直線になり、この膨らみは消えます。膨らみの大きさがそのまま分散投資の効果です。曲線のいちばん左の点（リスク最小点）を次に求めます。

3. 最小分散ポートフォリオ

リスクが最小になる配分を**最小分散ポートフォリオ（MVP: Minimum Variance Portfolio）**と呼びます。2資産なら $\sigma_p^2$ を $w$ で微分して 0 と置けば、解析的に解けます。

w_A^{\ast} = \frac{\sigma_B^2 - \rho\,\sigma_A\sigma_B}{\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\rho\,\sigma_A\sigma_B}

この配分のリスクを計算してみます。

import numpy as np

mu_a, sig_a = 0.08, 0.12
mu_b, sig_b = 0.15, 0.25
rho = 0.3

# 最小分散ポートフォリオの解析解
wA_mvp = (sig_b**2 - rho*sig_a*sig_b) / (sig_a**2 + sig_b**2 - 2*rho*sig_a*sig_b)

mvp_ret = wA_mvp*mu_a + (1-wA_mvp)*mu_b
mvp_var = ((wA_mvp*sig_a)**2 + ((1-wA_mvp)*sig_b)**2
           + 2*wA_mvp*(1-wA_mvp)*rho*sig_a*sig_b)
mvp_vol = np.sqrt(mvp_var)

print(f"MVP の配分 : 資産A {wA_mvp:.4f}, 資産B {1-wA_mvp:.4f}")
print(f"MVP の期待リターン: {mvp_ret:.4%}")
print(f"MVP のボラ        : {mvp_vol:.4%}")
print(f"参考：資産A単独のボラ {sig_a:.2%} よりも低い")

出力：

MVP の配分 : 資産A 0.9083, 資産B 0.0917
MVP の期待リターン: 8.6418%
MVP のボラ        : 11.7919%
参考：資産A単独のボラ 12.00% よりも低い

出力の意味：最小分散ポートフォリオは資産Aを約91%、資産Bを約9%。注目はボラ 11.79% が、低リスク資産Aの単独ボラ 12.00% すら下回っていること。少しだけ高リスク資産Bを混ぜたほうが、相関が低い（0.3）おかげで全体のリスクが下がるのです。「リスクを下げたいなら最もリスクの低い資産100%」が間違いだと、この数字がはっきり示しています。次の効率的フロンティアでは、この考えを多資産に広げ、MVP から上側の「効率的」な部分だけを取り出します。

⚠️ よくある誤解

「期待リターンもリスクも加重平均」ではない：期待リターンは加重平均ですが、リスク（ボラ）は違います。 $\sigma_p^2 = \mathbf{w}^\top\Sigma\mathbf{w}$ は二次形式で、共分散が低ければ加重平均ボラを下回ります。ここが分散投資の核心です。
「最小リスク＝最低リスク資産100%」ではない：相関が低ければ、少し別の資産を混ぜたほうがリスクは下がります（上の例で 12.00%→11.79%）。MVP は単独資産の端ではなく内部にあります。
平均分散分析は「リターンとリスクの2軸」しか見ない：歪度・尖度（テールリスク）や非正規性は無視します。リターンが正規に近い、または投資家が平均と分散だけを気にする（二次効用）という仮定の上の理論で、暴落の非対称リスクは第8章で別に扱います。

要点（BLUF）

1. ポートフォリオの期待リターンとリスク

2. 2資産のリスク・リターン平面

3. 最小分散ポートフォリオ

⚠️ よくある誤解

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