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📊 対象級：準1級　|　重要度：B（標準）

要点（BLUF）

複数の変数 $X_1,\dots,X_p$ の「散らばり」と「関係」をひとつの行列にまとめたものが 分散共分散行列 $\Sigma$ です。対角に各変数の分散、非対角に変数間の共分散を並べます。

要するに「1次元の分散 $\mathrm{Var}(X)$ を、変数ベクトル $\mathbf X$ 向けに拡張した行列版の分散」です。準1級では次の3点が問われます。

1. 半正定値性（$\mathbf a^\top\Sigma\mathbf a\ge0$）と、そこから従う「固有値が全て非負」。
2. 線形変換の公式 $\mathrm{Var}(A\mathbf X)=A\Sigma A^\top$。
3. 相関行列 $R=D^{-1/2}\Sigma D^{-1/2}$ への標準化と、スケール依存／不変の違い。

これらはすべて 主成分分析（PCA）（$\Sigma$ の固有値分解）と 多変量正規分布 の土台になります。

1. 分散共分散行列 $\Sigma$ の定義

1.1 確率変数ベクトルと平均ベクトル

$p$ 個の確率変数を縦に並べたベクトルを考えます。

$\boldsymbol\mu$ は 平均ベクトルで、各成分が各変数の期待値です。期待値・分散の1変数での性質は 期待値・分散の性質（線形性・和の分散・共分散） が下地になります。

1.2 行列としての定義

中心化したベクトル $\mathbf X-\boldsymbol\mu$ の「外積の期待値」が分散共分散行列です。

ここで $(\mathbf X-\boldsymbol\mu)$ は $p\times1$、その転置は $1\times p$ なので、積は $p\times p$ 行列になります。中身を成分で書き下すと、$(i,j)$ 成分は

となります。したがって行列全体は次の形です。

要するに「対角に各変数の分散、非対角にペアの共分散を並べた表」です。2変数の共分散・相関の基礎は 2変数の記述（散布図・共分散・相関係数）── 相関≠因果／rは直線関係しか測れない／外れ値1点で激変、同時分布から共分散が出る仕組みは 同時分布・周辺分布・条件付き分布 を参照してください。

1.3 対称性

$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\mathrm{Cov}(X_j,X_i)$ なので、$\Sigma_{ij}=\Sigma_{ji}$、すなわち

です。これが後の「直交行列で対角化できる」の前提になります。

別の便利な表現として $\Sigma=\mathbb E[\mathbf X\mathbf X^\top]-\boldsymbol\mu\boldsymbol\mu^\top$ があります。これは $\mathrm{Var}(X)=\mathbb E[X^2]-(\mathbb E X)^2$ の行列版で、モーメントの観点（確率変数の変換・モーメント母関数・積率）から見ると「2次の原点まわりモーメント行列 $\mathbb E[\mathbf X\mathbf X^\top]$ から平均の寄与を引いたもの」です。

2. 標本分散共分散行列 $S$

母集団の $\Sigma$ は理論量です。データから推定するのが 標本分散共分散行列 $S$ です。

2.1 定義

$n$ 個の観測ベクトル $\mathbf x_1,\dots,\mathbf x_n$（各 $\mathbf x_i$ は $p$ 次元）と標本平均 $\bar{\mathbf x}=\frac1n\sum_{i}\mathbf x_i$ について、

これは1変数の不偏分散 $s^2=\frac{1}{n-1}\sum_i(x_i-\bar x)^2$ をそのまま行列に拡張したものです。$n-1$ で割るのは、平均 $\bar{\mathbf x}$ を推定に使ったことで自由度が1減るためで、これにより $\mathbb E[S]=\Sigma$（不偏性）が成り立ちます。

2.2 中心化行列を使った行列表記（重回帰と地続き）

観測を行ごとに積んだデータ行列 $X$（$n\times p$）を考えます。

各列（各変数）から平均を引いた 中心化データ行列 を $X_c$ とします。これは 中心化行列（centering matrix）

を左から掛けて $X_c=HX$ で作れます（$\frac1n\mathbf 1\mathbf 1^\top$ は「全行を平均で置き換える」作用なので、引くと各列が中心化される）。このとき標本分散共分散行列は

と書けます。$X_c^\top X_c$ の $(i,j)$ 成分が $\sum_k(x_{ki}-\bar x_i)(x_{kj}-\bar x_j)$、すなわち変数 $i,j$ の偏差積和になっているからです。

要するに「$S$ は中心化データの グラム行列 $X_c^\top X_c$ を自由度で割っただけ」です。重回帰の正規方程式に現れる $X^\top X$（重回帰分析）と同じ $(\text{行列})^\top(\text{同じ行列})$ の形をしている点に注目してください。重回帰の $X^\top X$ も、列を中心化すれば本質的に $(n-1)S$ になります。多変量解析の至るところでこの $X^\top X$ 型が顔を出すのは、すべて2次モーメントの集約だからです。

$H$ の性質：$H$ は対称（$H^\top=H$）かつ冪等（$H^2=H$）な射影行列です。よって $S=\frac{1}{n-1}X^\top H^\top HX=\frac{1}{n-1}X^\top HX$ とも書けます。

3. 相関行列 $R$

3.1 共分散行列の標準化

共分散はスケール（単位）に依存します。これを取り除いて「関係の強さ」だけを取り出したのが 相関行列 $R$ です。各変数の標準偏差 $\sigma_i=\sqrt{\Sigma_{ii}}$ を対角に並べた対角行列

を使って、

と定義します（ここで $D$ は分散を対角に並べた行列とみなし、$D^{-1/2}$ は $1/\sigma_i$ の対角行列です）。$(i,j)$ 成分を書き下すと、

まさに 相関係数 です。要するに「$R$ は $\Sigma$ の各成分を、対応する2変数の標準偏差で割って正規化した行列」です。

3.2 性質

• 対角成分は $R_{ii}=\dfrac{\Sigma_{ii}}{\sigma_i^2}=1$。
• 非対角成分は $-1\le\rho_{ij}\le1$。
• $R$ も対称かつ半正定値（後述の半正定値性が $D^{-1/2}\Sigma D^{-1/2}$ にも遺伝する。$\mathbf b^\top R\mathbf b=(D^{-1/2}\mathbf b)^\top\Sigma(D^{-1/2}\mathbf b)\ge0$ だから）。

3.3 「標準化したデータの共分散行列＝相関行列」

各変数を $Z_i=\dfrac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}$ と標準化すると、$Z_i$ は分散1になります。標準化後のベクトル $\mathbf Z$ の共分散行列は、定義から $\mathrm{Cov}(Z_i,Z_j)=\rho_{ij}$ なので

つまり「先に標準化してから共分散行列を作る ＝ 相関行列」です。$R$ は $\Sigma$ より狭い概念（情報量が少ない）で、スケールの情報を捨てた代わりに単位に依存しなくなります。

4. 半正定値性の証明（省略しない）

これが準1級で最も問われる性質です。$\Sigma$ は半正定値である、すなわち任意のベクトル $\mathbf a\in\mathbb R^p$ に対して $\mathbf a^\top\Sigma\mathbf a\ge0$。

4.1 鍵となる事実：二次形式は新しい確率変数の分散

任意の定数ベクトル $\mathbf a=(a_1,\dots,a_p)^\top$ に対し、変数の線形結合

という 1次元の確率変数 を作ります。これの分散を計算すると、$\Sigma$ の二次形式そのものになります。

3行目で「スカラー $c=\mathbf a^\top(\mathbf X-\boldsymbol\mu)$ は $c^2=c\cdot c=c\cdot c^\top$」を使い、転置 $(\mathbf a^\top(\mathbf X-\boldsymbol\mu))^\top=(\mathbf X-\boldsymbol\mu)^\top\mathbf a$ を当てています。

4.2 分散は非負だから半正定値

分散は定義上いつでも非負（二乗の期待値）なので、

これがすべての $\mathbf a$ で成り立つので、$\Sigma$ は 半正定値（positive semidefinite） です。要するに「どんな向きに変数を足し合わせても、その合成変数の分散は負になりえない」という当たり前の事実が、行列の言葉では半正定値性になる、ということです。

4.3 固有値が全て非負（PCAの前提）

$\Sigma$ は対称なのでスペクトル定理により実固有値を持ち、固有値 $\lambda$ と単位固有ベクトル $\mathbf v$（$\Sigma\mathbf v=\lambda\mathbf v$、$\mathbf v^\top\mathbf v=1$）に対して

最後の不等号は 4.2 の半正定値性です。したがって

要するに「固有値 ＝ その固有ベクトル方向の分散」なので、分散が非負である以上、固有値も非負です。この事実が主成分分析で「固有値＝各主成分が説明する分散」と読める根拠になります（第6節）。

5. 線形変換の公式 $\mathrm{Var}(A\mathbf X)=A\Sigma A^\top$

5.1 公式

$\mathbf X$ を行列 $A$（$m\times p$）で線形変換した $\mathbf Y=A\mathbf X$ の分散共分散行列は、

これは1変数の $\mathrm{Var}(aX)=a^2\mathrm{Var}(X)$ の行列版です（$a^2$ が $A(\cdot)A^\top$ に化ける）。

5.2 導出

$\mathbf Y=A\mathbf X$ の平均は $\mathbb E[\mathbf Y]=A\boldsymbol\mu$。定義に当てはめて、

4行目で転置の反転則 $(A\mathbf z)^\top=\mathbf z^\top A^\top$ を使い、5行目で定数 $A,A^\top$ を期待値の外に出しています。要するに「線形変換 $A$ は分散を $A(\cdot)A^\top$ で挟むように作用する」ということです。

5.3 系：合成変数の分散・半正定値性の再確認

$A$ が1行（行ベクトル $\mathbf a^\top$）の特別な場合、$\mathrm{Var}(\mathbf a^\top\mathbf X)=\mathbf a^\top\Sigma\mathbf a$ となり、第4節の二次形式に一致します。半正定値性はこの公式の $m=1$ の特別な姿だったわけです。

この公式は多変量正規分布で決定的に効きます。$\mathbf X\sim\mathcal N(\boldsymbol\mu,\Sigma)$ なら $A\mathbf X\sim\mathcal N(A\boldsymbol\mu,\,A\Sigma A^\top)$ と、平均と共分散だけで変換後の分布が完全に決まります（多変量正規分布）。

6. 固有値分解の予告（主成分分析への橋渡し）

$\Sigma$ は 対称かつ半正定値 という、線形代数で最も扱いやすいクラスの行列です。スペクトル定理により、直交行列 $V=(\mathbf v_1,\dots,\mathbf v_p)$（$V^\top V=I$）と非負の固有値 $\lambda_1\ge\lambda_2\ge\dots\ge\lambda_p\ge0$ を使って

と 直交対角化 できます。第5節の公式で $A=V^\top$ と置くと、変換後の変数 $\mathbf Y=V^\top\mathbf X$ の共分散行列は

つまり 対角行列 になります。要するに「固有ベクトル方向に座標を取り直すと、変数どうしの共分散がゼロ（無相関）になり、各方向の分散がちょうど固有値 $\lambda_k$ になる」。

graph LR
  A["分散共分散行列 Σ<br/>(対称・半正定値)"] -->|固有値分解 Σ=VΛVᵀ| B["固有値 λ₁≥…≥λ_p≥0<br/>固有ベクトル v₁…v_p"]
  B -->|分散最大の方向| C["主成分分析<br/>06-02"]
  A -->|"D^(-1/2)で標準化"| R["相関行列 R"]
  R -->|相関行列ベースのPCA| C
  A -->|"Var(AX)=AΣAᵀ"| D["多変量正規分布<br/>06-08"]
  A -->|クラス間/内の分散構造| E["判別分析<br/>06-04"]

固有値が大きい方向ほど分散が大きい＝情報が多い、という読み替えが主成分分析そのものです。詳細は 主成分分析（PCA） で扱います。$\Sigma$ は多変量正規分布 多変量正規分布 や判別分析 判別分析 でも共通の中心的な道具です。

⚠️ 引っかけポイント・頻出論点

• 共分散はスケール依存・相関はスケール不変：$X_i$ を $cX_i$ に変えると $\mathrm{Cov}$ は $c$ 倍になるが、$\rho$ は不変。だから単位の異なる変数を扱うPCAでは「共分散行列ベース」か「相関行列ベース」かで結果が変わる（要最新確認だが、準1級ではこの違いが頻出）。スケールの大きい変数に第1主成分が引きずられるのを避けたいなら相関行列ベース。
• 半正定値だが正定値とは限らない：変数間に完全な一次従属（たとえば $X_3=2X_1-X_2$）があると、その方向の分散がゼロになり、$\Sigma$ は 特異（行列式 $\det\Sigma=0$、固有値に0が出る、逆行列が存在しない）。「分散共分散行列は常に正則」は誤り。正定値 ⟺ 固有値がすべて 正（一次従属が無い）。
• 標本では $n$ 割りか $n-1$ 割りか：不偏推定量は $n-1$ で割る $S$。ライブラリによっては $n$ で割る「最尤推定版」を返すものもある（要最新確認）。試験では「不偏」と書かれていれば $n-1$。
• 共分散行列と相関行列の固有値は別物：$\Sigma$ の固有値と $R=D^{-1/2}\Sigma D^{-1/2}$ の固有値は一般に一致しない（相似変換ではないため）。PCAの結果が両者で変わる根本理由。
• 対角成分の意味：$R$ の対角は必ず1、$\Sigma$ の対角は各分散。$R$ のトレース $\mathrm{tr}(R)=p$（変数の数）になる。

よくある疑問（Q&A）

Q1. 「共分散行列」と「分散共分散行列」は違うものですか？

同じものです。対角に分散、非対角に共分散が入るので、両方の語を込めて「分散共分散行列」と呼ぶことが多いですが、英語の covariance matrix を直訳した「共分散行列」も同義です。準1級でどちらの表記が出ても同じ $\Sigma$ を指します。

Q2. 相関行列と「標準化したデータの共分散行列」が同じになるのはなぜですか？

標準化 $Z_i=(X_i-\mu_i)/\sigma_i$ は各変数を平均0・分散1にする操作です。分散が1になると、共分散の定義 $\mathrm{Cov}(Z_i,Z_j)$ の分母にあたる正規化が済んでいるため、共分散がそのまま相関係数 $\rho_{ij}$ になります。式で言えば $R=D^{-1/2}\Sigma D^{-1/2}$ の $D^{-1/2}$ が、まさに「各変数を標準偏差で割る＝標準化」の作用なので、先に標準化しても後で標準化しても同じ $R$ にたどり着きます。

Q3. 分散共分散行列はいつも逆行列を持ちますか（正定値ですか）？

いいえ。$\Sigma$ は半正定値（固有値 $\ge0$）であって、正定値（固有値 $>0$）とは限りません。変数間に完全な線形関係があると、その方向の分散が0になり固有値に0が現れ、$\Sigma$ は特異になって逆行列を持ちません。たとえば「合計＝各項目の和」のように定義上従属な変数を一緒に入れると起こります。逆行列が必要な手法（マハラノビス距離・多変量正規の密度・判別分析）ではこの特異性が問題になるので、従属変数を除くか正則化します。

Q4. PCAをやるとき、共分散行列と相関行列のどちらを使えばよいですか？

変数のスケール（単位）がそろっているかで判断します。単位がバラバラ（例：年収[万円]と年齢[歳]）だと、共分散行列ベースのPCAは値の大きい変数（年収）に第1主成分が支配され、ほぼその変数の方向になってしまいます。これを避けるには、各変数を標準化して相関行列ベースでPCAします。逆に同じ単位・同程度のスケール（例：同一試験の各科目得点）なら、分散の大小も意味があるので共分散行列ベースでよいことが多いです。要するに「スケールの差を情報とみなすか、ノイズとみなすか」で選びます（詳細は 主成分分析（PCA））。

Q5. なぜ二次形式 $\mathbf a^\top\Sigma\mathbf a$ が大事なのですか？

それが「変数を $\mathbf a$ という重みで合成した新しい変数 $\mathbf a^\top\mathbf X$ の分散」そのものだからです。半正定値性（分散は非負）も、線形変換の公式も、主成分分析（分散 $\mathbf a^\top\Sigma\mathbf a$ を $\lVert\mathbf a\rVert=1$ の制約で最大化する）も、すべてこの二次形式の読み替えです。$\Sigma$ という行列を「向き $\mathbf a$ を入れると、その方向の分散を返す装置」と捉えると、多変量解析の見通しが一気に良くなります。

まとめ

• 分散共分散行列 $\Sigma=\mathbb E[(\mathbf X-\boldsymbol\mu)(\mathbf X-\boldsymbol\mu)^\top]$。対角に分散、非対角に共分散。対称行列。
• 標本版は $S=\frac{1}{n-1}\sum_i(\mathbf x_i-\bar{\mathbf x})(\mathbf x_i-\bar{\mathbf x})^\top=\frac{1}{n-1}X_c^\top X_c$。中心化データのグラム行列で、重回帰の $X^\top X$ と同型。
• 相関行列 $R=D^{-1/2}\Sigma D^{-1/2}$ は $\Sigma$ を標準偏差で標準化したもの。対角1、非対角は相関係数。スケール不変。
• 半正定値性 $\mathbf a^\top\Sigma\mathbf a=\mathrm{Var}(\mathbf a^\top\mathbf X)\ge0$ から、固有値はすべて非負。完全な一次従属があると固有値0（特異）。
• 線形変換は $\mathrm{Var}(A\mathbf X)=A\Sigma A^\top$。$m=1$ の場合が二次形式。
• 対称・半正定値だから $\Sigma=V\Lambda V^\top$ と直交対角化でき、これが主成分分析の出発点。

関連ノート

• 主成分分析（PCA）　$\Sigma$ の固有値分解で分散最大方向を求める。本ノートの直接の続き
• 多変量正規分布　$\mathcal N(\boldsymbol\mu,\Sigma)$。$\Sigma$ が密度を規定し、線形変換の公式が効く
• 判別分析　群内・群間の分散共分散構造を使う多変量手法
• 重回帰分析　$X^\top X$ 型が現れる線形モデル。$S$ と地続き
• 2変数の記述（散布図・共分散・相関係数）── 相関≠因果／rは直線関係しか測れない／外れ値1点で激変　共分散・相関係数の2変数での基礎
• 期待値・分散の性質（線形性・和の分散・共分散）　1変数の分散の性質（行列版の土台）
• 同時分布・周辺分布・条件付き分布　共分散が同時分布から定まる仕組み