確率ボラティリティ（Hestonモデル）

🎓 レベル：発展　|　重要度：B（標準）・要最新確認

📎 前提：伊藤の補題・短期金利モデル（CIR）　|　関連：インプライドボラティリティ

要点（BLUF）

確率ボラティリティモデルは、ブラック–ショールズが一定としたボラティリティ自体を確率過程にします。代表が Heston モデルで、分散 $v$ が CIR 型の平均回帰過程に従います。
株価と分散の相関 $\rho$ （株式では通常負＝レバレッジ効果：株が下がるとボラが上がる）が、ボラティリティ・スマイル／スキューと裾の厚さを生みます。
GBM の正規リターンと違い、Heston は超過尖度（裾の厚さ）とボラティリティ・クラスタリングを再現します。これがインプライドボラティリティのスマイルの一因です。

1. なぜボラを確率過程にするか

GBM（ブラウン運動と幾何ブラウン運動）のボラ $\sigma$ は定数でした。しかし現実のボラは時間とともに大きく動き、荒れた時期と穏やかな時期が固まって現れます（ボラティリティ・クラスタリング）。さらに、ボラが定数なら生まれないはずのスマイル（インプライドボラティリティ）が市場には存在します。これらを説明するには、ボラ自体にランダムな動きを持たせる必要があります。

2. Hestonモデル

Heston モデルは、株価と分散 $v=\sigma^2$ を、相関する2つのブラウン運動で動かします。

dS = \mu S\,dt + \sqrt{v}\,S\,dW_1

dv = \kappa(\theta - v)\,dt + \xi\sqrt{v}\,dW_2, \qquad \mathrm{corr}(dW_1, dW_2) = \rho

分散 $v$ の式は短期金利モデルの CIR と同じ形——長期分散 $\theta$ への平均回帰（速度 $\kappa$ ）、 $\sqrt{v}$ で正を保つ、ボラのボラ $\xi$ 。相関 $\rho$ が要で、株式では $\rho<0$ （レバレッジ効果：株価下落とボラ上昇が連動）が普通で、これが左に偏ったスキューを生みます。Heston はこの設定でも準閉形式のオプション価格（特性関数経由）を持つのが実務での強みです。

3. 裾の厚さ：Heston vs GBM

Heston のリターンが GBM よりどれだけ裾が厚いかを、超過尖度（正規なら0）で測ります。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib
from scipy import stats

rng = np.random.default_rng(0)
S0, v0, mu = 100.0, 0.04, 0.05
kappa, theta, xi, rho = 2.0, 0.04, 0.3, -0.7   # 回帰速度/長期分散/ボラのボラ/相関
T, N, M = 1.0, 252, 5000
dt = T/N

S = np.full(M, S0); v = np.full(M, v0)
daily = np.zeros((M, N))
for i in range(N):
    z1 = rng.normal(size=M)
    z2 = rho*z1 + np.sqrt(1-rho**2)*rng.normal(size=M)   # 相関ρの2変量正規
    vp = np.maximum(v, 0)                                 # 分散の負を切り詰め
    incr = (mu - 0.5*vp)*dt + np.sqrt(vp*dt)*z1
    daily[:, i] = incr
    S = S*np.exp(incr)
    v = v + kappa*(theta - vp)*dt + xi*np.sqrt(vp*dt)*z2  # 分散はCIR型の過程

heston = daily.flatten()
gbm = rng.normal((mu-0.5*theta)*dt, np.sqrt(theta*dt), heston.size)
print(f"Heston日次リターン 超過尖度 = {stats.kurtosis(heston):.3f}")
print(f"GBM日次リターン    超過尖度 = {stats.kurtosis(gbm):.3f}")
print(f"Heston終端価格 平均 {S.mean():.3f}, S0*e^(μT)={S0*np.exp(mu*T):.3f}")

plt.figure(figsize=(7, 5))
plt.hist(heston, bins=300, density=True, alpha=0.5, label="Heston（確率ボラ）")
plt.hist(gbm, bins=300, density=True, histtype="step", color="green", label="GBM（一定ボラ）")
plt.yscale("log")                 # 対数軸で裾を強調
plt.xlim(-0.06, 0.06)
plt.xlabel("日次リターン"); plt.ylabel("密度（対数軸）")
plt.title("確率ボラは裾が厚い（対数軸で比較）")
plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()

出力：

Heston日次リターン 超過尖度 = 1.267
GBM日次リターン    超過尖度 = 0.008
Heston終端価格 平均 105.513, S0*e^(μT)=105.127

出力の意味：GBM の日次リターンは超過尖度ほぼ0（定義どおり正規）ですが、Heston は 1.267 と明確に裾が厚い。ボラが時間とともに揺れるため、「ボラが高い日にさらに大きく動く」混合が起き、正規より極端な値が増えるのです。対数軸のヒストグラムでは、Heston（塗りつぶし）の裾が GBM（緑線）より外側まで持ち上がっているのが見えます。終端価格の平均は $S_0e^{\mu T}=105.13$ とほぼ整合——ボラを確率化しても価格の期待成長は $\mu$ のままで、変わったのは分布の形（裾）です。

4. スマイルとの関係

Heston が重要なのは、この裾の厚さと相関 $\rho$ が、ちょうど市場のボラティリティ・スマイル／スキューを生むからです。 $\rho<0$ だと下落時にボラが上がり、OTM プット（暴落保険）が割高になる——インプライドボラティリティで見たスキューそのものです。パラメータ $(\kappa,\theta,\xi,\rho,v_0)$ を市場のスマイルにキャリブレーションすれば、BS では1つしか入れられなかったボラを、行使価格・満期にわたって一貫して説明できます。確率ボラは「スマイルを内生的に生むモデル」なのです（実装の詳細・市場慣行は要最新確認）。

⚠️ よくある誤解

確率ボラでも価格の期待成長は $\mu$ ：変わるのはリターン分布の形（裾・歪み）で、平均は GBM と同じ。スマイルやテールが生まれるのは2次以上のモーメントの効果です。
Feller 条件は分散にも要る：分散の CIR 過程が0を割らないためには $2\kappa\theta \ge \xi^2$ 。破ると数値計算で分散が負になり、np.maximum(v,0) などの切り詰めが必要です（短期金利モデル）。
Heston は万能ではない：単独ではごく短満期の急峻なスマイルを完全には再現できず、ジャンプ（ジャンプ拡散モデル）と組み合わせることが多い（要最新確認）。