在庫・窓口のモデル化｜シミュレーション

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🎓 レベル：標準　|　重要度：B（推奨）

📎 前提：待ち行列のシミュレーション　|　理論：安全在庫と発注点（オペレーションズ）

要点（BLUF）

在庫システムは「需要（確率的）・発注方策・リードタイム」をモデル化すれば、解析解が無くてもシミュレーションで性能を測れます。
(s,S) 方策：在庫が発注点 $s$ 以下になったら、在庫を $S$ まで戻すよう発注。リードタイム中は欠品リスクがあります。
発注点 $s$ を上げるほど平均在庫（保有コスト）が増え、欠品が減る——サービス水準とのトレードオフを実測します。

1. 在庫システムの要素

在庫を系・状態・入力・出力で切ると：

状態：手持ち在庫量、発注残（発注したがまだ届いていない量）。
入力：日々の需要（確率的、ここではポアソン）、リードタイム（発注から納品までの遅れ）。
方策：いつ・いくつ発注するか。代表が (s,S) 方策——在庫＋発注残が $s$ 以下になったら $S$ まで補充。
出力：平均在庫（保有コストに比例）、フィルレート（需要を在庫で満たせた割合＝サービス水準）。

リードタイムがあるので、「発注してから届くまでに在庫が尽きる」リスクがあり、 $s$ をどれだけ高く設定するか（安全在庫）が肝になります。

2. (s,S) 方策のシミュレーション

ポアソン需要（平均8/日）、リードタイム3日の (s,S) 在庫をシミュレートし、 $s$ を変えて平均在庫とフィルレートを測ります。

import numpy as np

def inventory_sim(s, S, lead, days, seed):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    inv = S                              # 初期在庫
    on_order = 0                         # 発注残
    arrival_day = -1                     # 入荷予定日
    inv_levels = []; total_demand = 0; met = 0
    for d in range(days):
        if arrival_day == d:             # 入荷イベント
            inv += on_order; on_order = 0
        demand = rng.poisson(8)          # 日次需要
        total_demand += demand
        sold = min(demand, max(inv, 0))  # 在庫の範囲で販売
        met += sold
        inv -= sold
        inv_levels.append(inv)
        if inv + on_order <= s and on_order == 0:   # 発注点を下回ったら発注
            on_order = S - inv
            arrival_day = d + lead       # lead日後に入荷
    fill_rate = met / total_demand       # サービス水準
    return np.mean(inv_levels), fill_rate

for (s, S) in [(20, 60), (30, 80), (40, 100)]:
    avg_inv, fill = inventory_sim(s, S, lead=3, days=200_000, seed=3)
    print(f"(s={s}, S={S}): 平均在庫={avg_inv:.2f}  フィルレート={fill:.4f}")

出力：

(s=20, S=60): 平均在庫=19.68  フィルレート=0.9564
(s=30, S=80): 平均在庫=33.43  フィルレート=0.9988
(s=40, S=100): 平均在庫=48.39  フィルレート=1.0000

出力の意味：発注点 $s$ を $20 \to 30 \to 40$ と上げると、フィルレート（需要を満たせた割合）が $95.6\% \to 99.9\% \to 100\%$ と改善する一方、平均在庫は $19.7 \to 33.4 \to 48.4$ と増えます。サービス水準を上げるには在庫（保有コスト）を積む——この明快なトレードオフが在庫管理の中心問題です。最後の99.9%から100%へ上げるのに在庫が大きく増える「収穫逓減」も読み取れます。最適な $s, S$ は、保有コストと欠品コストの合計を最小化する点で、コストを与えればこのシミュレーションで探索できます（シミュレーション最適化）。

3. 窓口・サービス系への一般化

同じ枠組みは窓口（サービス）系にも使えます。複数の窓口（M/M/c）、優先客、休憩、故障と修理——解析が難しい現実的な要素を、DES なら素直に追加できます。在庫の「発注」は窓口の「増員」に、「欠品」は「待たせて取りこぼす客」に対応し、コストとサービスのトレードオフという構造は共通です。

在庫理論の解析的な公式（安全在庫 $z\sigma\sqrt{L}$ 、新聞売り子問題の臨界比など）はオペレーションズの領分です。ここは、理論が前提（定常需要・特定分布）を外れたときに、シミュレーションで性能を直接測る役割を担います。

数式の直観的意味

フィルレートと平均在庫のトレードオフは、リードタイム需要の分布の裾で決まります。リードタイム3日・平均8/日なら、その間の需要は平均24・ばらつきあり。発注点 $s$ は「この期間の需要を、確率いくつでカバーするか」を決める安全在庫の役割。 $s$ を上げると、リードタイム需要の分布のより右の裾までカバーするので欠品確率が下がるが、普段はその在庫が寝てしまう（平均在庫増）。サービス水準を $99\% \to 99.9\%$ へ上げるのに在庫が急増するのは、正規・ポアソンの裾が指数的に薄いため、最後の数%をカバーするコストが跳ね上がるから。シミュレーションは、この裾の確率を実際に数えてくれるので、分布の仮定が崩れても正しい答えを返します。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

「リードタイムを無視してよい」ではない：リードタイムが欠品リスクの主因。ゼロにすると問題が自明になり、現実を写しません。
「発注残を数えないと過剰発注」になる：在庫が $s$ 以下でも、発注済み（on_order）があれば二重発注しない。inv + on_order <= s で判定。
「平均在庫だけ見ればよい」ではない：サービス水準（フィルレート）と必ずセット。在庫が少ない＝良い、ではありません。
「フィルレートとサイクルサービス率は同じ」ではない：フィルレート（満たせた需要の割合）とサイクル中に欠品しない確率は別指標。目的に合わせて選ぶ。
「理論をここで導出」ではない：安全在庫・EOQ の理論はオペレーションズへ。ここはシミュレーション実装（境界）。

対応シミュレーション参照

本文の (s,S) 在庫シミュ（default_rng(3)、 $s$ とフィルレートのトレードオフ）。理論は安全在庫と発注点へ。