確率過程のパス生成（ポアソン過程・ブラウン運動）

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須）

📎 前提：代表的分布の生成（正規・指数・ポアソン）　|　金融：ブラウン運動と幾何ブラウン運動・モンテカルロ法によるオプション価格

要点（BLUF）

確率過程のパス生成：時間とともにランダムに動く過程の**標本路（サンプルパス）**を作る手法。多くのモンテカルロ応用の入力になります。
ポアソン過程は指数間隔の積み上げ、ブラウン運動は独立増分を $\sqrt{dt}$ でスケールして積み上げ、一般の**確率微分方程式（SDE）**は Euler–Maruyama 法で離散化します。
ブラウン運動の分散が時間に比例（ $t=1$ で 1.003）し、Ornstein–Uhlenbeck 過程が定常分散へ収束することを実証します。

1. ポアソン過程：指数間隔を積み上げる

レート $\lambda$ のポアソン過程は、事象の到着間隔が独立な指数分布 $\text{Exp}(\lambda)$ （代表的分布の生成（正規・指数・ポアソン））。間隔を累積すれば到着時刻列になります（離散事象の到着過程の土台）。

import numpy as np

# 乱数シードを固定
rng = np.random.default_rng(65)

lam = 5.0; T_end = 10000
inter = rng.exponential(1/lam, int(lam*T_end*1.2))   # 指数間隔
arrival = np.cumsum(inter)
arrival = arrival[arrival < T_end]                    # 観測区間内の到着
print(f"ポアソン過程: 単位時間あたり事象数 N(T)/T = {len(arrival)/T_end:.4f}  (理論 lambda={lam})")

出力：

ポアソン過程: 単位時間あたり事象数 N(T)/T = 4.9765  (理論 lambda=5.0)

出力の意味：指数間隔を積み上げただけで、単位時間あたり事象数が $\lambda=5$ に一致。非斉次（レートが時間変化する）ポアソン過程は間引き法（thinning）——高いレートで生成し、確率 $\lambda(t)/\lambda_{\max}$ で受理——で作れます（棄却法の応用）。

2. ブラウン運動：独立増分を √dt でスケールする

標準ブラウン運動（ウィーナー過程） $W_t$ は、(1) $W_0=0$ 、(2) 独立増分、(3) $W_{t+s}-W_t \sim \mathcal{N}(0, s)$ を満たす過程。時間刻み $dt$ ごとの増分は $\mathcal{N}(0, dt)$ 、つまり標準正規に $\sqrt{dt}$ を掛けたものを積み上げます。

W_{t+dt} = W_t + \sqrt{dt}\,Z,\qquad Z \sim \mathcal{N}(0,1)

import numpy as np

# 乱数シードを固定
rng = np.random.default_rng(64)

T = 1.0; steps = 1000; n_paths = 20000
dt = T / steps
increments = rng.normal(0, np.sqrt(dt), (n_paths, steps))   # 各増分 ~ N(0, dt)
W = np.cumsum(increments, axis=1)                            # 標本路

for k in [steps//4 - 1, steps//2 - 1, steps - 1]:
    t = (k+1) * dt
    print(f"ブラウン運動 t={t:.2f}: 分散={W[:,k].var():.4f}  (理論 {t:.4f})")

出力：

ブラウン運動 t=0.25: 分散=0.2498  (理論 0.2500)
ブラウン運動 t=0.50: 分散=0.5037  (理論 0.5000)
ブラウン運動 t=1.00: 分散=1.0034  (理論 1.0000)

出力の意味：ブラウン運動の分散が時間 $t$ に正比例（ $t=0.25, 0.5, 1.0$ で分散 0.25, 0.50, 1.00）。これがブラウン運動の決定的な性質で、標準偏差は $\sqrt{t}$ で広がる——[[01-04_大数の法則と中心極限定理の役割|ランダムウォークの $\sqrt{n}$ 拡散]]の連続時間版です。増分を $\sqrt{dt}$ でスケールするのが要で、 $dt$ で掛けると（誤って）分散が消えてしまいます。

3. Euler–Maruyama 法：SDE を離散化する

一般の確率微分方程式（SDE）

dX_t = a(X_t)\,dt + b(X_t)\,dW_t

は、ブラウン増分 $\sqrt{dt}\,Z$ を使って離散化できます（Euler–Maruyama 法）：

X_{t+dt} = X_t + a(X_t)\,dt + b(X_t)\,\sqrt{dt}\,Z

ドリフト項に $dt$ 、拡散項に $\sqrt{dt}$ を掛けるのがポイント。例として、平均回帰する Ornstein–Uhlenbeck (OU) 過程 $dX = \theta(\mu - X)dt + \sigma\,dW$ を解き、定常分布の平均 $\mu$ ・分散 $\sigma^2/(2\theta)$ に収束するか確かめます。

import numpy as np

# 乱数シードを固定
rng = np.random.default_rng(66)

theta, mu, sigma = 1.0, 2.0, 0.5
steps = 200_000; dt = 0.01
X = 0.0
xs = np.empty(steps)
for i in range(steps):
    X += theta*(mu - X)*dt + sigma*np.sqrt(dt)*rng.standard_normal()   # Euler-Maruyama
    xs[i] = X

burn = 10_000
print(f"OU過程 平均={xs[burn:].mean():.4f}  (理論 {mu})")
print(f"OU過程 分散={xs[burn:].var():.4f}  (理論 {sigma**2/(2*theta):.4f})")

出力：

OU過程 平均=1.9849  (理論 2.0)
OU過程 分散=0.1285  (理論 0.1250)

出力の意味：OU 過程は初期値0から始まって、定常分布の平均 $\mu=2$ （1.985）・分散 $\sigma^2/(2\theta)=0.125$ （0.129）へ収束。Euler–Maruyama で SDE をステップ更新するだけで、平均回帰という連続時間ダイナミクスが再現できました。分散がわずかに大きい（0.129 vs 0.125）のは離散化バイアス—— $dt$ を小さくすると縮みます（Euler–Maruyama は強収束次数 1/2・弱収束次数 1）。

4. 応用への橋渡し（境界）

これらのパス生成は多くの応用の入口です。

金融：幾何ブラウン運動（GBM） $dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW$ は株価モデルで、これを生成して経路依存オプションをモンテカルロ評価します。GBM・オプション価格付けの本拠は金融（ブラウン運動と幾何ブラウン運動・モンテカルロ法によるオプション価格）——ここは「ブラウン運動・SDE のパス生成手法」を提供する立場です。
物理・化学：拡散・反応過程、ランジュバン動力学。
待ち行列・信頼性：ポアソン到着過程は離散事象の入力。

数式の直観的意味

確率過程のパス生成は「ランダムな変化を、時間方向に少しずつ積み上げる」操作です。ブラウン運動で増分を $\sqrt{dt}$ でスケールするのは、独立増分の分散が時間に比例する（ $\text{Var}(W_t)=t$ ）ことの裏返し—— $n$ ステップで分散が $n \cdot dt = t$ になるには、各増分の標準偏差が $\sqrt{dt}$ でなければならない。これは中心極限定理で標本和が $\sqrt{n}$ で広がるのと同じ算術で、ブラウン運動は「無限に細かいランダムウォークの極限」。Euler–Maruyama がドリフトに $dt$ ・拡散に $\sqrt{dt}$ を使う非対称性も、この「ランダム項は $\sqrt{dt}$ オーダー」という確率解析の核心を反映しています。だから拡散項を $dt$ で離散化する素朴な真似をすると、ランダム性が消えて間違う——通常の ODE 数値解法と SDE が決定的に違う点です。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

「ブラウン増分は $dt$ でスケール」ではない： $\sqrt{dt}$ です。 $dt$ で掛けると分散が $dt^2$ オーダーになり、ランダム性が消えます。
「Euler–Maruyama は ODE の Euler 法と同じ」ではない：拡散項に $\sqrt{dt}$ が入る点が決定的に違う。ODE 流に書くと誤ります。
「 $dt$ は精度に効かない」ではない：離散化バイアス（OU の分散0.129 vs 0.125）があり、 $dt$ を小さくすると縮みます。強収束次数1/2。
「ポアソン過程は等間隔」ではない：間隔は指数分布でばらつきます。等間隔は決定的過程で別物。
「GBM の価格付けをここで展開」ではない：オプション価格・リスク中立評価は金融の本拠（モンテカルロ法によるオプション価格）。ここはパス生成手法（境界）。

対応シミュレーション参照

本文のポアソン過程（default_rng(65)）・ブラウン運動（default_rng(64)、分散∝t）・OU過程の Euler–Maruyama（default_rng(66)）。応用はブラウン運動と幾何ブラウン運動へ。