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第4章 連続時間マルコフ連鎖

マルコフ連鎖とは・遷移行列では時間が離散（ステップ）でした。ここでは状態は離散のまま、時間を連続にします。状態に留まる時間が指数分布になり（マルコフ性＝無記憶性の必然）、遷移はポアソン過程のような「イベント時計」で起こります。離散の遷移行列 $P$ は、瞬間的な遷移率を集めた生成行列 $Q$ に置き換わり、遷移確率は $P(t)=e^{Qt}$ で与えられます。

トピック一覧

• 連続時間マルコフ連鎖と生成行列 — Q行列・前進/後退方程式・$P(t)=e^{Qt}$
• 出生死亡過程 — 隣接状態へのみ遷移する連鎖。待ち行列の土台
• 定常分布と詳細釣り合い — 連続時間版の $\pi Q=0$ と可逆性

この章の位置づけ

出生死亡過程は待ち行列（M/M/1 など、operations）の数理的核であり、生成行列の指数は伊藤の公式の生成作用素へと連続状態空間で一般化されます。詳細釣り合いは詳細釣り合いと可逆連鎖の連続時間版です。

関連分野

• 待ち行列・在庫・信頼性 → オペレーションズ
• 化学反応ネットワーク・人口動態 → シミュレーション