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🗺️ このノートは 第7章「確率積分とSDE」のハブ です。

第7章 確率積分とSDE

ブラウン運動（ブラウン運動の定義と性質）は至るところ微分不可なので、$\int f\,dB$ を普通のリーマン＝スティルチェス積分では定義できません。ここで伊藤が築いた確率積分が必要になります。積分点を左端に固定することでマルチンゲール性を保ち、二次変分が $t$ であることから普通の連鎖律に補正項 $\frac12 f''\,dt$ が加わる — これが伊藤の公式です。確率微分方程式（SDE）はこの解析で書かれ、Euler-Maruyama 法で数値的に解けます。

トピック一覧

• 伊藤積分 — 左端点での確率積分の構成・伊藤等長・マルチンゲール性
• 伊藤の公式 — 確率版の連鎖律と補正項 $\frac12 f''\,dt$
• 確率微分方程式とEuler-Maruyama — SDE の定式化と数値解法・収束

この章の位置づけ

伊藤積分はマルチンゲールの定義と例を保つ積分として作られ、伊藤の公式は幾何ブラウン運動の解の導出に使われます。SDE の数値解法はシミュレーション分野へ、価格付け・ヘッジは金融工学へ wikilink。

関連分野

• ブラック=ショールズ・ヘッジ → 金融工学
• SDE 数値解法・モンテカルロ → シミュレーション