系列相関と一般化最小二乗

🎓 レベル：標準　|　重要度：B（推奨） 📎 土台：定常性と自己相関（時系列・自己相関）・ARMA・ARIMAモデル（時系列）

要点（BLUF）

系列相関 ＝時系列回帰で誤差 $u_t$ が時間方向に相関する状態（ $\mathrm{Cov}(u_t,u_{t-1})\neq 0$ ）。マクロ・金融データではほぼ必ず存在します。
不均一分散と同じ構図：係数は一致、標準誤差だけが誤る（多くは過小→偽の有意）。だから対処も推論の手当てが中心。
二択：(1) 係数はOLSのまま Newey–West（HAC）標準誤差で推論を直す（簡単・頑健）、(2) 誤差構造を仮定して GLS/FGLS で効率まで回復する（強いが誤指定に弱い）。

1. 問題：時間方向の相関で標準誤差が狂う

誤差が AR(1) のように $u_t=\rho u_{t-1}+\varepsilon_t$ で持続すると、隣り合う観測が「似た情報」を持つため、実効的なサンプルサイズが見かけより小さい。にもかかわらず通常の標準誤差はサンプルを独立とみなすので、標準誤差を過小評価し、 $t$ 値が大きく出て偽の有意を生みます。

検出には残差の自己相関（定常性と自己相関）を見るか、Durbin–Watson 統計量・Breusch–Godfrey 検定を使います。ただし不均一分散と同様、最初からHACで推論するのが安全です。

2. 処方箋A：HAC（Newey–West）標準誤差

不均一分散・自己相関の両方に頑健な標準誤差が HAC（Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent）、実装名で Newey–West。サンドイッチの「具」を、ラグ方向の自己共分散まで含めて推定します（cov_type="HAC", maxlags=L）。ラグ長 $L$ は系列の持続性に応じて選び（ $L\approx 4(T/100)^{2/9}$ が目安）、係数はOLSのままで $t$ 値・信頼区間だけが正しくなります。

flowchart LR
    A["時系列回帰の残差 û_t（自己相関あり）"] --> B["処方A: HAC(Newey–West) で標準誤差を直す"]
    A --> C["処方B: 誤差をARと仮定しGLS/FGLSで効率回復"]
    B --> D["係数そのまま・推論が正しく"]
    C --> E["効率↑ だが誤差構造の誤指定に弱い"]

3. 処方箋B：GLS/FGLS で効率を取り戻す

誤差の相関構造（例：AR(1)）を仮定できるなら、**一般化最小二乗（GLS）**で「相関を白色化する変換」をかけてから最小二乗します。 $\rho$ が未知なら残差から推定して使う 実行可能GLS（FGLS）（Cochrane–Orcutt・Prais–Winsten）。HACより効率は高いものの、誤差構造を間違えると逆に悪化します。

なお、系列相関は「見せかけの回帰」（ランダムウォークと単位根）と混同しがちですが別物です。系列相関は定常な誤差の相関で標準誤差の問題、見せかけの回帰は**非定常（単位根）**による係数自体の虚構——後者は第5章で扱います。まず系列が定常かを確認するのが順序です。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

「系列相関があると係数が偏る」ではない：偏るのは標準誤差（誤差が外生なら）。ただしラグ従属変数が説明変数にある場合は係数も偏るので注意（動学モデル）。
「Durbin–Watsonで2に近ければ安心」ではない：DWはAR(1)の片側しか見ない。Breusch–Godfreyの方が一般的。実務はHAC既定が無難。
「系列相関＝単位根」ではない：定常な相関（系列相関）と非定常（単位根・見せかけの回帰）は別問題。先に定常性（定常性と自己相関）を確認。
GLSは万能ではない：誤差構造の誤指定に弱く、現代の実務はHAC標準誤差を選ぶことが多い。

要点（BLUF）

1. 問題：時間方向の相関で標準誤差が狂う

2. 処方箋A：HAC（Newey–West）標準誤差

3. 処方箋B：GLS/FGLS で効率を取り戻す

⚠️ よくある誤解・落とし穴

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