単位根と見せかけの回帰

🎓 レベル：標準　|　重要度：A（必須） 📎 土台：ランダムウォークと単位根（時系列・単位根）・定常性と自己相関（時系列・定常性）

要点（BLUF）

見せかけの回帰 ＝互いに無関係な非定常（単位根）系列どうしを回帰すると、高い $R^2$ と有意な $t$ 値が出てしまう現象。経済時系列の最大の落とし穴です。
原因は単位根（ランダムウォーク）が共通の方向に漂うため、偶然の同方向トレンドを「関係」と誤認すること。通常の $t$ 分布の前提（定常性）が壊れています。
対策：回帰の前に単位根を疑い（単位根検定（ADF））、非定常なら**差分（成長率）**をとるか、共和分（共和分とVECM）を確認する。

1. 問題：非定常な系列の回帰は信用できない

GDP・物価・株価のような系列は $y_t=y_{t-1}+\varepsilon_t$ 型のランダムウォーク（単位根、 $I(1)$ ）で、トレンドを持って非定常に動きます（ランダムウォークと単位根）。こうした系列どうしを水準で回帰すると、たとえ真の関係がゼロでも、両者がたまたま同方向に漂っただけで強い相関が観測されます。

問題は統計的推論の前提が壊れていることです。OLSの $t$ 値が標準正規に近づくのは誤差が定常なときで、単位根系列ではこの漸近論が成立せず、 $t$ 値が発散します。だから「有意」が乱発される。Granger–Newbold（1974）が警告した古典的な罠です。

2. 実証：無関係な2本のランダムウォークが「有意」になる

互いに完全に独立な2本のランダムウォークを1000回回帰し、(1) 5%水準で「有意」と誤判定する割合、(2) $R^2$ の平均、(3) 差分してから回帰した場合、を見ます。

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

rng = np.random.default_rng(0)
n = 200
reps = 1000
sig_count = 0
r2_list = []
for _ in range(reps):
    # 互いに完全に無関係な 2 本のランダムウォーク（単位根・I(1)）
    x = np.cumsum(rng.normal(0, 1, n))
    y = np.cumsum(rng.normal(0, 1, n))
    m = sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit()
    if abs(m.tvalues[1]) > 1.96:   # 5%水準で「有意」と誤判定する割合
        sig_count += 1
    r2_list.append(m.rsquared)

print(f"無関係な2本のランダムウォークを回帰（{reps}回）")
print(f"  t>1.96 で誤って有意と判定した割合 = {sig_count/reps*100:.0f}%（本来は 5% のはず）")
print(f"  決定係数 R^2 の平均             = {np.mean(r2_list):.2f}（無関係なのに高い）")

# 差分（成長率）にすれば見せかけは消える
sig_diff = 0
for _ in range(reps):
    x = np.cumsum(rng.normal(0, 1, n))
    y = np.cumsum(rng.normal(0, 1, n))
    m = sm.OLS(np.diff(y), sm.add_constant(np.diff(x))).fit()
    if abs(m.tvalues[1]) > 1.96:
        sig_diff += 1
print(f"  差分してから回帰した場合の誤検出  = {sig_diff/reps*100:.0f}%（5%付近に戻る）")

出力：

無関係な2本のランダムウォークを回帰（1000回）
  t>1.96 で誤って有意と判定した割合 = 83%（本来は 5% のはず）
  決定係数 R^2 の平均             = 0.24（無関係なのに高い）
  差分してから回帰した場合の誤検出  = 5%（5%付近に戻る）

出力の意味：真の関係がゼロなのに、水準回帰では 83% ものケースで「有意」と誤判定しました（正しくは5%のはず）。 $R^2$ も平均 $0.24$ と無関係にしては高い。これが見せかけの回帰です。一方、差分（成長率）にすると誤検出は5%——理論通りに戻りました。差分が単位根を除去して系列を定常にし、通常の漸近論を回復させたためです。

3. 正しい手順

flowchart LR
    A["経済時系列を回帰したい"] --> B["まず単位根検定（ADF）"]
    B -->|"定常 I(0)"| C["そのまま回帰してよい"]
    B -->|"非定常 I(1)"| D{"共和分はあるか？"}
    D -->|"なし"| E["差分して回帰（成長率で関係を見る）"]
    D -->|"あり"| F["VECMで長期均衡を保って回帰"]

水準で回帰してよいのは系列が定常なときだけ。非定常なら、まず共和分（共和分とVECM）を確認し、無ければ差分、有れば長期均衡を保つVECMを使います。「とりあえず水準で回帰」が最も危険です。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

「 $R^2$ が高いから良い関係」ではない：見せかけの回帰では $R^2$ が高くても無意味。非定常系列の $R^2$ と $t$ 値は信用しない。
「差分すれば常に正しい」ではない：共和分があるのに差分だけ取ると長期均衡の情報を捨てる（過剰差分、共和分とVECM）。差分の前に共和分を確認。
「トレンド項を入れれば解決」ではない：確定トレンドの除去と単位根（確率トレンド）の差分は別物。確率トレンドは差分でしか消えません。
「サンプルを増やせば安全」ではない： $n$ を増やすほど見せかけの $t$ 値はむしろ発散します。

要点（BLUF）

1. 問題：非定常な系列の回帰は信用できない

2. 実証：無関係な2本のランダムウォークが「有意」になる

3. 正しい手順

⚠️ よくある誤解・落とし穴

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