共和分とVECM｜計量経済学

🎓 レベル：発展　|　重要度：A（必須） 📎 土台：共和分と誤差修正モデル（VECM）（時系列・共和分とVECM）・ランダムウォークと単位根（時系列）

要点（BLUF）

共和分 ＝個々は単位根で非定常（ $I(1)$ ）でも、ある線形結合が定常になる関係。その結合が長期均衡を表します。為替と物価、現物と先物などが典型。
これは見せかけの回帰（単位根と見せかけの回帰）の例外＝本物の長期関係。違いは「回帰残差が定常か」で、Engle–GrangerやJohansen検定で判定します。
共和分があるのに差分だけ取ると長期情報を捨てる。長期均衡へ戻る力をモデル化する**誤差修正モデル（VECM）**を使うべきです。

1. 共和分：非定常どうしの定常な結合

2系列 $x_t,y_t$ がともに $I(1)$ でも、特別な係数 $\beta$ で $y_t-\beta x_t$ が定常（ $I(0)$ ）になることがあります。これが共和分で、 $\beta$ が共和分ベクトル、 $y_t-\beta x_t$ が均衡誤差。直観は「鎖でつながれた2人の酔っ払い」——各自はランダムウォークで好き勝手に動く（非定常）が、2人の距離は一定以上開かない（差は定常）。

経済学では、購買力平価（為替と内外価格）、利子率の期間構造、消費と所得の長期関係、ペア取引の2銘柄などが共和分の代表例です。「短期はバラバラでも長期は一定の関係に縛られる」構造を捉えます。

2. 見せかけの回帰との分かれ目＝残差が定常か

flowchart LR
    A["x, y はともに I(1)（非定常）"] --> B["水準で回帰し残差を見る"]
    B -->|"残差が定常 I(0)"| C["共和分あり＝本物の長期関係（OK）"]
    B -->|"残差も非定常 I(1)"| D["共和分なし＝見せかけの回帰（NG）"]

非定常どうしの回帰がすべて見せかけ（単位根と見せかけの回帰）なのではなく、残差が定常になるなら本物の長期関係です。判定法：

Engle–Granger：水準で回帰し、残差にADF検定（単位根検定（ADF））。残差が定常なら共和分あり。2変数・1関係向き。
Johansen：複数系列・複数の共和分関係を同時に扱い、共和分ランク（独立な長期関係の本数）を推定。3変数以上はこちら。

3. VECM：長期均衡へ戻す力をモデル化

共和分があるなら、差分VARではなくVECM（ベクトル誤差修正モデル）を使います。VECMは差分VARに誤差修正項を足した形：

\Delta\mathbf{y}_t=\boldsymbol\alpha\,(\beta^\top\mathbf{y}_{t-1})+\sum_{i}\Gamma_i\,\Delta\mathbf{y}_{t-i}+\boldsymbol\varepsilon_t

$\beta^\top\mathbf{y}_{t-1}$ が前期の均衡誤差（長期均衡からのズレ）、 $\boldsymbol\alpha$ が調整係数＝「ズレを次期にどれだけ戻すか」。共和分があるのに差分だけ取ると、この「均衡へ戻る力」を捨ててしまい長期予測が劣化します。詳しい実装・実証は時系列分析（共和分と誤差修正モデル（VECM））に委ね、ここでは「経済の長期均衡＝共和分、それを保つのがVECM」という対応を押さえます。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

「非定常どうしの回帰は常に見せかけ」ではない：共和分があれば本物。残差が定常か（Engle–Granger・Johansen）で判定。
「共和分があるのに差分VARで済ます」は損：均衡へ戻る情報を捨て、長期予測が劣化。共和分が1本でもあればVECMを検討。
「Engle–Grangerだけで十分」ではない：3変数以上や複数の共和分関係があるとJohansenが必要。EGは基準変数の選び方に依存。
「共和分＝因果」ではない：長期に連動するという統計的関係であって、どちらが原因かは別問題（グレンジャー因果）。

要点（BLUF）

1. 共和分：非定常どうしの定常な結合

2. 見せかけの回帰との分かれ目＝残差が定常か

3. VECM：長期均衡へ戻す力をモデル化

⚠️ よくある誤解・落とし穴

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