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🗺️ このノートは 第6章「ブラウン運動」のハブ です。

第6章 ブラウン運動

ブラウン運動は、連続時間・連続値の確率過程の基本中の基本です。ランダムウォークと再帰性のステップを無限に細かくした極限であり、独立・定常なガウス増分を持つ唯一の連続過程。軌道は連続なのに至るところ微分不可という驚くべき性質を持ち、その「ギザギザさ」を測る二次変分が $t$ になることが、伊藤積分の確率解析を生み出します。物理（拡散）・金融（株価）・生物（個体群）のモデルの共通言語です。

トピック一覧

• ブラウン運動の定義と性質 — ガウス増分・連続性・非微分性・二次変分
• 反射原理と最大値分布 — 経路の対称性から最大値・到達時刻の分布を導く
• 幾何ブラウン運動 — 指数化した正値過程。平均成長とボラティリティ・ドラッグ

この章の位置づけ

ブラウン運動はマルチンゲールの定義と例の連続時間マルチンゲール（$B_t$ と $B_t^2-t$）であり、伊藤積分の積分子です。幾何ブラウン運動の価格付け応用は金融工学へ wikilink（ここは過程の理論に集中）。

関連分野

• 株価モデル・オプション価格付け → 金融工学
• 拡散・SDE 数値解法 → シミュレーション、確率微分方程式とEuler-Maruyama