ガウス・マルコフ仮定のおさらい

🎓 レベル：基礎　|　重要度：A（必須） 📎 土台：重回帰分析（統計・OLSとBLUE）・確率変数（離散・連続）と期待値・分散（統計）

要点（BLUF）

OLS が**最良線形不偏推定量（BLUE）**になるのはガウス・マルコフ仮定（線形性・外生性・等分散・無相関・多重共線性なし）のもと。
どの仮定が破れると何が壊れるかを切り分けるのが本ノードの目的。外生性だけが係数（点推定）を壊し、等分散・無相関は標準誤差（推論）だけを壊します。
だから処方箋が分かれる：外生性の破れ→IV・パネル（重い）、等分散・無相関の破れ→頑健標準誤差・GLS（軽い）。

1. 仮定と「破れたとき何が壊れるか」

仮定	内容	破れると壊れるもの	計量での対処
線形性	パラメータについて線形	あてはめの妥当性	変数変換・多項式
外生性 $E[u\mid x]=0$	説明変数が誤差と無相関	係数の一致性（致命的）	IV(3章)・固定効果(4章)
等分散 $\mathrm{Var}(u\mid x)=\sigma^2$	誤差分散が一定	標準誤差・効率	頑健標準誤差(02-02)
無相関 $\mathrm{Cov}(u_i,u_j)=0$	誤差どうしが無相関	標準誤差・効率	HAC・GLS(02-03)
共線性なし	説明変数が一次独立	係数の分散（不安定）	変数整理・正則化

ポイントは色分けです。外生性の破れ＝内生性（内生性とは（バイアスの源の地図））だけが、点推定を間違った値に収束させます。残りは点推定は正しいまま、**推論（標準誤差・ $t$ 値・信頼区間）**が狂うだけです。

2. 「係数の病」と「標準誤差の病」を混同しない

flowchart TB
    A["ガウス・マルコフ仮定の破れ"] --> B["外生性の破れ＝内生性"]
    A --> C["等分散・無相関の破れ"]
    B --> B2["係数が偏る（一致性が壊れる）→ 重症: IV・パネル"]
    C --> C2["係数はOK・標準誤差が誤る → 軽症: 頑健SE・GLS"]

この区別が章全体の設計です。第2章（本章）は軽症＝標準誤差の手当てだけを扱い、第3章以降が重症＝内生性の本格治療を扱います。診断を間違えると、係数が偏っているのに頑健標準誤差で「直した」気になる、という危険があります。

3. 正規性は BLUE には不要

誤差の正規性はガウス・マルコフ仮定には含まれません。正規性は小標本で $t$ / $F$ の正確な分布を保証するための追加仮定で、大標本では中心極限定理（仮説検定の枠組み（帰無仮説・対立仮説・p値・有意水準））から漸近的に不要になります。経済データは大標本が多く、正規性より外生性・等分散・無相関の方がはるかに重要です。

⚠️ よくある誤解・落とし穴

「不均一分散があると係数が偏る」は誤り：偏るのは標準誤差。係数は一致します（不均一分散と頑健標準誤差）。
「正規性がないとOLSは使えない」は誤り：BLUEに正規性は不要。大標本なら推論も漸近的に有効。
「多重共線性は除去すべきバグ」ではない：共線性は係数を不安定にするだけで偏らせません。予測目的なら無害なことも多い。

要点（BLUF）

1. 仮定と「破れたとき何が壊れるか」

2. 「係数の病」と「標準誤差の病」を混同しない

3. 正規性は BLUE には不要

⚠️ よくある誤解・落とし穴

関連ノート